【題目】如圖,拋物線y=﹣x2﹣2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)M(m,0)為線段AB上一點(diǎn)(點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合),過點(diǎn)M作x軸的垂線,與直線AC交于點(diǎn)E,與拋物線交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N,可得矩形PQNM.如圖,點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊,試用含m的式子表示矩形PQNM的周長;
(3)當(dāng)矩形PQNM的周長最大時,m的值是多少?并求出此時的△AEM的面積;
(4)在(3)的條件下,當(dāng)矩形PMNQ的周長最大時,連接DQ,過拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線,與直線AC交于點(diǎn)G(點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方).若FG= DQ,求點(diǎn)F的坐標(biāo).

【答案】
(1)解:由拋物線 可知,C(0,3),
令y=0,則 ,
解得x=﹣3或x=1,
∴A(﹣3,0),B(1,0);
(2)解:由拋物線 可知,對稱軸為x=﹣1,
設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,
則PM= ,MN=(﹣m﹣1)×2=﹣2m﹣2,
∴矩形PMNQ的周長=2(PM+MN)=( )×2= =
∴當(dāng)m=﹣2時矩形的周長最大.
(3)解:∵矩形PMNQ的周長=2(PM+MN)=( )×2= = ∴當(dāng)m=﹣2時矩形的周長最大.
∵A(﹣3,0),C(0,3),設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,解得k=1,b=3,∴解析式y(tǒng)=x+3,當(dāng)x=﹣2時,則E(﹣2,1),∴EM=1,AM=1,∴S= AMEM=
(4)解:∵M(jìn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2,拋物線的對稱軸為x=﹣1,∴N應(yīng)與原點(diǎn)重合,Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合,∴DQ=DC,把x=﹣1代入 ,解得y=4,∴D(﹣1,4),∴DQ=DC= ,∵FG= DQ,∴FG=4,設(shè)F(n, ),則G(n,n+3),∵點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方,∴ =4,解得:n=﹣4或n=1,∴F(﹣4,﹣5)或(1,0).
【解析】(1)利用函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法,建立方程求出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)。
(2)先確定出拋物線對稱軸,設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,用含m表示出PM,MN,再根據(jù)矩形PMNQ的周長=2(PM+MN),建立函數(shù)解析式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果。
(3)由(2)得到的結(jié)論判斷出矩形周長最大時,確定出m,進(jìn)而求出直線AC解析式,即可求出出此時的△AEM的面積;
(4)在(3)的基礎(chǔ)上,判斷出N應(yīng)與原點(diǎn)重合,Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合,求出DQ=DC=,求出FG的長,設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)及點(diǎn)G的坐標(biāo),根據(jù)FG的長=4,建立方程,解方程求出n的值,就可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)。

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A.有兩個相等的實(shí)數(shù)根
B.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根
C.無實(shí)數(shù)根
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(2)若將△A1B1C繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到△A2B2C2 , 請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo);
(3)在x軸上有一點(diǎn)P,使得PA+PB的值最小,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

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1)求△ABCBC邊上的高.

2)連結(jié)AE、AD,設(shè)AB=5

①求線段DF的長.

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(參考數(shù)據(jù):sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.2)

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(1)a=___,b=___,△BCD的面積為______;

(2)如圖2,若AC⊥BC,點(diǎn)P線段OC上一點(diǎn),連接BP,延長BP交AC于點(diǎn)Q,當(dāng)∠CPQ=∠CQP時,求證:BP平分∠ABC;

(3)如圖3,若AC⊥BC,點(diǎn)E是點(diǎn)A與點(diǎn)B之間一動點(diǎn),連接CE,CB始終平分∠ECF,當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間運(yùn)動時,的值是否變化?若不變,求出其值;若變化,請說明理由.

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