【題目】閱讀下面材料:
如圖1,在平面直角坐標系xOy中,直線y1=ax+b與雙曲線y2= 交于A(1,3)和B(﹣3,﹣1)兩點.
觀察圖象可知:
①當x=﹣3或1時,y1=y2;
②當﹣3<x<0或x>1時,y1>y2 , 即通過觀察函數的圖象,可以得到不等式ax+b> 的解集.
有這樣一個問題:求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集.
某同學根據學習以上知識的經驗,對求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集進行了探究.
下面是他的探究過程,請將(2)、(3)、(4)補充完整:
(1)將不等式按條件進行轉化:
(2)構造函數,畫出圖象
設y3=x2+4x﹣1,y4= ,在同一坐標系中分別畫出這兩個函數的圖象.
雙曲線y4= 如圖2所示,請在此坐標系中畫出拋物線y3=x2+4x﹣1;(不用列表)
(3)確定兩個函數圖象公共點的橫坐標,觀察所畫兩個函數的圖象,猜想并通過代入函數解析式驗證可知:滿足y3=y4的所有x的值為
(4)借助圖象,寫出解集
結合(1)的討論結果,觀察兩個函數的圖象可知:不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集
【答案】
(1)解:當x=0時,原不等式不成立;
當x>0時,原不等式可以轉化為x2+4x﹣1> ;
當x<0時,原不等式可以轉化為x2+4x﹣1< ;
(2)解:
(3)±1和﹣4
(4)x>1或﹣4<x<﹣1
【解析】解:(2)
;(3)兩個函數圖象公共點的橫坐標是±1和﹣4.
則滿足y3=y4的所有x的值為±1和﹣4.
故答案是:±1和﹣4;(4)不等式x3+4x2﹣x﹣4>0即當x>0時,x2+4x﹣1> ,此時x的范圍是:x>1;
當x<0時,x2+4x﹣1< ,則﹣4<x<﹣1.
故答案是:x>1或﹣4<x<﹣1.
(2)首先確定二次函數的對稱軸,然后確定兩個點即可作出二次函數的圖象;(3)根據圖象即可直接求解;(4)根據已知不等式x3+4x2﹣x﹣4>0即當x>0時,x2+4x﹣1> ,;當x<0時,x2+4x﹣1< ,根據圖象即可直接寫出答案.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】閱讀下面材料:
在學習《圓》這一章時,老師給同學們布置了一道尺規(guī)作圖題:
尺規(guī)作圖:過圓外一點作圓的切線。
已知:P為⊙O外一點。
求作:經過點P的⊙O的切線
小敏的作法如下:
如圖:
①連接OP,作線段OP的垂直平分線MN交OP于C
②以點C為圓心,CO的長為半徑作圓,交⊙O 于A,B兩點
③作直線PA,PB所以直線PA,PB就是所求的切線
老師認為小敏的作法正確.
請回答:連接OA,OB后,可證∠OAP=∠OBP=90°,其依據是;由此可證明直線PA,PB都是⊙O的切線,其依據是 .
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】我們規(guī)定:平面內點A到圖形G上各個點的距離的最小值稱為該點到這個圖形的最小距離d,點A到圖形G上各個點的距離的最大值稱為該點到這個圖形的最大距離D,定義點A到圖形G的距離跨度為R=D﹣d.
(1)①如圖1,在平面直角坐標系xOy中,圖形G1為以O為圓心,2為半徑的圓,直接寫出以下各點到圖形G1的距離跨度:
A(﹣1,0)的距離跨度;
B( ,﹣ )的距離跨度;
C(﹣3,2)的距離跨度;
②根據①中的結果,猜想到圖形G1的距離跨度為2的所有的點組成的圖形的形狀是 .
(2)如圖2,在平面直角坐標系xOy中,圖形G2為以C(1,0)為圓心,2為半徑的圓,直線y=k(x+1)上存在到G2的距離跨度為2的點,求k的取值范圍.
(3)如圖3,在平面直角坐標系xOy中,射線OA:y= x(x≥0),圓C是以3為半徑的圓,且圓心C在x軸上運動,若射線OA上存在點到圓C的距離跨度為2,直接寫出圓心C的橫坐標xc的取值范圍.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】學校要圍一個矩形花圃,其一邊利用足夠長的墻,另三邊用籬笆圍成,由于園藝需要,還要用一段籬笆將花圃分隔為兩個小矩形部分(如圖所示),總共36米的籬笆恰好用完(不考慮損耗).設矩形垂直于墻面的一邊AB的長為x米(要求AB<AD),矩形花圃ABCD的面積為S平方米.
(1)求S與x之間的函數關系式,并直接寫出自變量x的取值范圍;
(2)要想使矩形花圃ABCD的面積最大,AB邊的長應為多少米?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某學校剛完成一批結構相同的學生宿舍的修建,這些宿舍地板需要鋪瓷磚,一天4名一級技工去鋪4個宿舍,結果還剩12 m2地面未鋪瓷磚;同樣時間內6名二級技工鋪4個宿舍剛好完成,已知每名一級技工比二級技工一天多鋪3 m2瓷磚.
(1)求每個宿舍需要鋪瓷磚的地板面積.
(2)現該學校有20個宿舍的地板和36 m2的走廊需要鋪瓷磚,某工程隊有4名一級技工和6名二級技工,一開始有4名一級技工來鋪瓷磚,3天后,學校根據實際情況要求2天后必須完成剩余的任務,所以決定加入一批二級技工一起工作,問需要再安排多少名二級技工才能按時完成任務
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點M,與BD相交于點N,連接BM,DN.
(1)求證:四邊形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求MD的長
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖,點(1,0)在函數圖象上,那么abc、2a+b、a+b+c、a﹣b+c這四個代數式中,值大于或等于零的數有( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知:∠B=∠DEF,AB=DE,要說明△ABC≌△DEF.(1)若以“ASA”為依據,還缺條件 _________________ ;(2)若以“AAS”為依據,還缺條件___________________;(3)若以“SAS”為依據,還缺條件___________________;
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某商店三、四月份出售同一品牌各種規(guī)格空調銷售臺輸入下表,回答:
匹 | 匹 | 匹 | 匹 | |
三月 | ||||
四月 |
商店平均每月銷售空調________臺;
商店出售各種規(guī)格的空調中,眾數有________匹;
在研究六月份進貨時,商店經理決定________(匹)的空調要多進,________(匹)的空調要少進.
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