Question

【題目】（感知）如圖，點M是正方形ABCD的邊BC上一點，點N是CD延長線上一點，且MA⊥AN，易證△ABM≌△ADN，進而證得∠AMB=∠AND.

（應用）如圖（1），在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°.求證：∠BEA=∠AEF.

（拓展）如圖（2），在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠B+∠D=180°，點E，F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°.若∠BEA=50°，則∠AFD的大小為 度.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）85°

【解析】

（1）過點A作AG⊥AE交CD延長線于點G．先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，即可證明∠BEA=∠AEF.

（2）根據(jù)（1）得△AEF≌△AGF，即可證明∠AFE=∠AFD，再根據(jù)已知條件即可解題.

（1）如圖②中，過點A作AG⊥AE交CD延長線于點G.

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=AD,∠B=∠BAD=∠ADC=90°.

∴∠B=∠ADG=90°,∠BAE+∠EAD=90°.

∵AG⊥AE,

∴∠DAG+∠EAD=90°.

∴∠BAE=∠DAG.

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG.

∴AE=AG，BE=DG，∠AEB=∠AGD.

∵∠EAF=45°，AG⊥AE，

∴∠EAF=∠GAF=45°.

在△FAE和△FAG中，

，

∴△AEF≌△AGF.

∴∠AGD=∠AEF,

∴∠BEA=∠AEF.

（2）根據(jù)（1）得∠BEA=∠AEF；

又∵∠EAF=45°，∠BEA=50°；

∴∠AEF=50°，

∴∠AFE=85°，

根據(jù)（1）可得△AEF≌△AGF，

∴∠AFD=∠AFE=85°.