Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．

求拋物線的解析式；

若直線經(jīng)過、兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，試證明四邊形是平行四邊形；

點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)?zhí)剿鳎涸?/span>軸上方是否存在這樣的點(diǎn)，使以為圓心的圓經(jīng)過、兩點(diǎn)，并且與直線相切？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（-1，0）B（3，0）C（0，3）

（2）平行四邊形

（3）（1，）

【解析】

試題（1）根據(jù)頂點(diǎn)式設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）2+4，將N（2，3）代入求a，確定拋物線解析式，根據(jù)拋物線解析式求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)M、C兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線y=kx+t解析式，得出D點(diǎn)坐標(biāo)，求線段AD，由C、N兩點(diǎn)坐標(biāo)可知CN∥x軸，再求CN，證明CN與AD平行且相等，判斷斷四邊形CDAN是平行四邊形；

（3）存在．如圖設(shè)T（x1，y1），Q（x2，y2），分別過T、Q作TF⊥y軸，QG⊥x軸，聯(lián)立直線TQ解析式與拋物線解析式，可得x1，y1，x2，y2之間的關(guān)系，當(dāng)以線段TQ為直徑的圓恰好過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，∠TOQ=90°，利用互余關(guān)系可證△TOF∽△QOG，利用相似比得出線段關(guān)系，結(jié)合x1，y1，x2，y2之間的關(guān)系求m的值．

試題解析：（1）A（-1，0）B（3，0）C（0，3）．

（2）直線y=kx+t經(jīng)過C、M兩點(diǎn)，

所以

即k=1，t=3，

直線解析式為y=x+3．

令y=0，得x=-3，

故D（-3，0），即OD=3，又OC=3，

∴在直角三角形COD中，根據(jù)勾股定理得：CD==．

連接AN，過N做x軸的垂線，垂足為F．

設(shè)過A、N兩點(diǎn)的直線的解析式為y=mx+n，

則，

解得m=1，n=1

所以過A、N兩點(diǎn)的直線的解析式為y=x+1

所以DC∥AN．在Rt△ANF中，AF=3，NF=3，

所以AN=，

所以DC=AN．

因此四邊形CDAN是平行四邊形．

（3）假設(shè)在x軸上方存在這樣的P點(diǎn)，使以P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切，設(shè)P（1，u）其中u＞0，

則PA是圓的半徑且PA2=u2+22過P做直線CD的垂線，垂足為Q，則PQ=PA時(shí)以P為圓心的圓與直線CD相切．

由第（2）小題易得：△MDE為等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，

由P（1，u）得PE=u，PM=|4-u|，PQ=

由PQ2=PA2得方程：=u2+22，

解得u=，舍去負(fù)值u=，符合題意的u=，

所以，滿足題意的點(diǎn)P存在，其坐標(biāo)為（1，）