【題目】(本題滿(mǎn)分10分)定義:如圖1,點(diǎn)M,N把線(xiàn)段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形,則稱(chēng)點(diǎn)M,N是線(xiàn)段AB的勾股分割點(diǎn).
(1)已知點(diǎn)M,N是線(xiàn)段AB的勾股分割點(diǎn),若AM=3,MN=5,求BN的長(zhǎng);
(2)如圖2,在Rt△ABC中,AC=BC,點(diǎn)M,N在斜邊AB上,MCN=45,求證:點(diǎn)M,N是線(xiàn)段AB的勾股分割點(diǎn).
【答案】(1)當(dāng)MN最長(zhǎng)時(shí),BN=4;
當(dāng)BN最長(zhǎng)時(shí),BN=;…………4分
如圖,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AB,且AD=BN
證 △ADC≌△BNC,∴CD=CN,∠ACD=∠BCN,
再證:∠MCD=∠BCM,
證 △MDC≌△MNC,∴MD=MN
在Rt△MDA中,
∴
∴點(diǎn)M,N是線(xiàn)段AB的勾股分割點(diǎn).…………10分
【解析】試題分析:(1)分兩種切線(xiàn)利用勾股定理即可解決問(wèn)題;
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AB,且AD=BN.只要證明△ADC≌△BNC,推出CD=CN,∠ACD=∠BCN,再證明△MDC≌△MNC,可得MD=MN,由此即可解決問(wèn)題.
試題解析:(1)當(dāng)MN最長(zhǎng)時(shí),BN==4;
當(dāng)BN最長(zhǎng)時(shí),BN==;
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AB,且AD=BN,
∵AD=BN,∠DAC=∠B=45°,AC=BC,
∴△ADC≌△BNC,
∴CD=CN,∠ACD=∠BCN,
∵∠MCN=45°,
∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°,
∴∠MCD=∠BCM,
∴△MDC≌△MNC,
∴MD=MN,
在Rt△MDA中,AD2+AM2=DM2,
∴BN2+AM2=MN2,
∴點(diǎn)M,N是線(xiàn)段AB的勾股分割點(diǎn)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB.
(1)求∠CAD的度數(shù);
(2)延長(zhǎng)AC至E,使CE=AC,求證:DA=DE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第一象限C,D兩點(diǎn),坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn),連結(jié)OC,OD(O是坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)利用圖中條件,求反比例函數(shù)的解析式和m的值;
(2)求△DOC的面積.
(3)雙曲線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P,使得△POC和△POD的面積相等?若存在,給出證明并求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于M(2,m)、N(-1-4) 兩點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖像寫(xiě)出使反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值的x取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一輛汽車(chē)勻速通過(guò)某段公路,所需時(shí)間t(h)與行駛速度v(km/h)滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系:
t=,其圖象為如圖所示的一段曲線(xiàn)且端點(diǎn)為A(40,1)和B(m,0.5).
(1)求k和m的值;(2)若行駛速度不得超過(guò)60 km/h,則汽車(chē)通過(guò)該路段最少需要多少時(shí)間?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法中,錯(cuò)誤的是( )
A. 有兩個(gè)內(nèi)角分別是70°和40°的三角形是等腰三角形
B. 有兩個(gè)內(nèi)角相等的三角形是等邊三角形
C. 一個(gè)外角平分線(xiàn)平行于一邊的三角形是等腰三角形
D. 等邊三角形一定是等腰三角形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)中,拋物線(xiàn)y=ax2﹣3ax﹣10a(a>0)分別交x軸于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),交y軸于點(diǎn)C,且OB=OC.
(1)求a的值;
(2)如圖1,點(diǎn)P位拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t(t>0),連接AC、PA、PC,△PAC的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)如圖2,在(2)的條件下,設(shè)對(duì)稱(chēng)軸l交x軸于點(diǎn)H,過(guò)P點(diǎn)作PD⊥l,垂足為D,在拋物線(xiàn)、對(duì)稱(chēng)軸上分別取點(diǎn)E、F,連接DE、EF,使PD=DE=EF,連接AE交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)G,直線(xiàn)y=kx﹣k(k≠0)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)G,將直線(xiàn)y=kx﹣k沿過(guò)點(diǎn)H的直線(xiàn)折疊得到對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)m,直線(xiàn)m恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,直線(xiàn)m與第四象限的拋物線(xiàn)交于另一點(diǎn)Q,若=,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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