Question

【題目】已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．

（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP、OP、OA．

①求證：△OCP∽△PDA；

②若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長(zhǎng)．

（2）若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求∠OAB的度數(shù)；

（3）如圖2，在（1）的條件下，擦去折痕AO，線段OP，連結(jié)BP，動(dòng)點(diǎn)M在線段AP⊥（點(diǎn)M與點(diǎn)F、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E．試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，說(shuō)明理由；說(shuō)明理由；若不變，求出線段EF的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

（1）①根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠APO=∠B=90°，根據(jù)相似三角形的判定定理證明△OCP∽△PDA；

②根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方解答；

（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠DAP=30°，根據(jù)折疊的性質(zhì)解答即可；

（3）作MQ∥AB交PB于Q，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)得到EF=PB，根據(jù)勾股定理求出PB，計(jì)算即可．

解：（1）①由折疊的性質(zhì)可知，∠APO=∠B=90°，

∴∠APD+∠OPC=90°，又∠POC+∠OPC=90°，

∴∠APD=∠POC，又∠D=∠C=90°，

∴△OCP∽△PDA；

②∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，

∴△OCP與△PDA的相似比為1：2，

∴PC=AD=4，

設(shè)AB=x，則DC=x，AP=x，DP=x﹣4，

在Rt△APD中，AP2=AD2+PD2，即x2+82=（x﹣4）2，

解得，x=10，即AB=10；

（2）∵點(diǎn)P是CD邊的中點(diǎn)，

∴DP=DC，又AP=AB=CD，

∴DP=AP，

∴∠DAP=30°，

由折疊的性質(zhì)可知，∠OAB=∠OAP=30°；

（3）EF的長(zhǎng)度不變．

作MQ∥AB交PB于Q，

∴∠MQP=∠ABP，

由折疊的性質(zhì)可知，∠APB=∠ABP，

∴∠MQP=∠APB，

∴MP=MQ，又BN=PM，

∴MQ=BN，

∵M(jìn)Q∥AB，

∴，

∴QF=FB，

∵M(jìn)P=MQ，ME⊥BP，

∴PE=QE，

∴EF=PB，

由（1）得，PC=4，BC=8，

∴PB==4，

∴EF=2．