Question

【題目】在△ABC中，∠ACB是銳角，點D在射線BC上運動，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到AE，連接EC．

（1）操作發(fā)現(xiàn)：若AB=AC，∠BAC=90°，當(dāng)D在線段BC上時（不與點B重合），如圖①所示，請你直接寫出線段CE和BD的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是　 　，　 　；

（2）猜想論證：

在（1）的條件下，當(dāng)D在線段BC的延長線上時，如圖②所示，請你判斷（1）中結(jié)論是否成立，并證明你的判斷．

（3）拓展延伸：

如圖③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動，試探究：當(dāng)銳角∠ACB等于　 　　　度時，線段CE和BD之間的位置關(guān)系仍成立（點C、E重合除外）？此時若作DF⊥AD交線段CE于點F，且當(dāng)AC=3時，請直接寫出線段CF的長的最大值是　　

Answer 1

【答案】(1) CE=BD，CE⊥BD；(2) 仍然成立 (3) 45°； ；

【解析】

（1）線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，得到△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，即可得結(jié)論CE=BD，CE⊥BD．（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，證明的方法與（1）一樣；（3）過A作AM⊥BC于M，過E點作EN垂直于MA延長線于N（如圖3），根據(jù)已知條件易證Rt△AMD≌Rt△ENA，可得NE=MA，再證明Rt△AMD∽Rt△DCF，設(shè)DC=x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，得到CF與x的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題即可.

解：（1）①∵AB=AC，∠BAC=90°，

∵線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∴△BAD≌△CAE，

∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，

∴線段CE，BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系為：CE=BD，CE⊥BD；

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：

如圖2，

∵線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，

∴AE=AD，∠DAE=90°，

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠CAE=∠BAD，

∴△ACE≌△ABD，

∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=90°，

所以線段CE，BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系為：CE=BD，CE⊥BD；

（3）過A作AM⊥BC于M，過E點作EN垂直于MA延長線于N，如圖3，

∵線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，

∴∠DAE=90°，AD=AE，

∴∠NAE=∠ADM，易證得Rt△AMD≌Rt△ENA，

∴NE=AM，

∵CE⊥BD，即CE⊥MC，∴∠MCE=90°，

∴四邊形MCEN為矩形，

∴NE=MC，∴AM=MC，

∴∠ACB=45°，

∵四邊形MCEN為矩形，

∴Rt△AMD∽Rt△DCF，

∴=，設(shè)DC=x，

∵在Rt△AMC中，∠ACB=45°，AC=3，

∴AM=CM=3，MD=3﹣x，∴=，

∴CF=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，

∴當(dāng)x=時有最大值，最大值為．