Question

如圖，點(diǎn)O在∠APB的平分線上，⊙O與PA相切于點(diǎn)C．
（1）求證：直線PB也與⊙O相切；
（2）又PO的延長線與⊙O交于點(diǎn)Q，若⊙O的半徑為3，PC=4，求△PCQ的面積．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)O作OD⊥PB于點(diǎn)D，連接OC，證明OD=OC即可；
（2）過點(diǎn)C作CH⊥OP，利用勾股定理求出OP的值，再利用面積定值求出CH的值，進(jìn)而求出三角形PCQ的面積．

解答：（1）證明：過點(diǎn)O作OD⊥PB于點(diǎn)D，連接OC，
∵PA切⊙O于點(diǎn)C，
∴OC⊥PA，
又∵點(diǎn)O在∠APB的角平分線上，
∴OC=OD，即OD的長等于⊙O的半徑，
∴PB與⊙O相切；

（2）過點(diǎn)C作CH⊥OP于點(diǎn)H，
在Rt△PCO中，PC=4，OC=3，
∴OP=

OC 2+PC 2

=5，
∵

1

2

OC×PC=

1

2

OP×CH=S_△PCO，
∴CH=

PC×OC

OP

=

4×3

5

=

12

5

，
∴S_△PCQ=

1

2

×PQ×CH=

1

2

×8×

12

5

=

48

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定方法和勾股定理的運(yùn)用以及三角形面積公式的應(yīng)用．