【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中, A,B,C 為坐標(biāo)軸上的三點(diǎn),且OAOBOC4,過點(diǎn)A 的直線AD BC 于點(diǎn)D,交y 軸于點(diǎn)G,ABD 的面積為8.過點(diǎn)C CEAD,交AB 交于F,垂足為E

1)求D 點(diǎn)的坐標(biāo);

2)求證:OFOG

3)在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得CFP 為等腰直角三角形?若存在,請求出點(diǎn)P 的坐標(biāo),若不存在,請說明理由。

【答案】(1)D(22);(2)OG=OF=;(3)P(4, )(, )( ).

【解析】試題分析:

(1) 過點(diǎn)DAB的垂線DM,DMABD的高. 根據(jù)已知條件容易求得線段AB的長,根據(jù)三角形的面積公式,可以得到線段DM的長,即點(diǎn)D的縱坐標(biāo). 利用已知條件易知BOC是等腰直角三角形,從而可知BMD也是等腰直角三角形. 利用等腰直角三角形的性質(zhì)可知線段BM的長,進(jìn)而獲得點(diǎn)D的橫坐標(biāo).

(2) 利用“同角的余角相等”可以得到∠EGC=OFC利用對頂角關(guān)系易得∠OGA=OFC. 利用已知條件和上述結(jié)論可以證明△AOG與△COF全等,進(jìn)而證明OF=OG.

(3) 由已知條件可知,當(dāng)△PCF的三個(gè)內(nèi)角分別等于90°時(shí)均存在滿足題意的等腰直角三角形. 因此,本小題應(yīng)該對這三種情況分別進(jìn)行討論. 根據(jù)題意畫出各個(gè)情況的示意圖. 當(dāng)∠PCF=90°時(shí),過點(diǎn)Py軸的垂線PN. 通過全等三角形可以證明PN=CO,NC=OF. 因?yàn)橐阎段CO的長,只要求得線段OF的長就可以寫出點(diǎn)P的坐標(biāo). 要求線段OF的長就是要求線段OG的長. 利用△AOG與△AMD的相似關(guān)系求得線段OG的長,從而寫出點(diǎn)P的坐標(biāo). 當(dāng)∠CFP=90°時(shí),過點(diǎn)Px軸的垂線PH. 利用已知條件可以證明△FHP與△COF全等,從而利用全等三角形的性質(zhì)和線段OFOC的長寫出點(diǎn)P的坐標(biāo). 當(dāng)∠CPF=90°時(shí),過點(diǎn)Px軸的垂線PQ過點(diǎn)Py軸的垂線PR. 利用已知條件可以證明△CRP與△FQP全等,從而可知四邊形OQPR是正方形. 利用線段FQ,OF與線段OC的數(shù)量關(guān)系可以求得線段FQ的長,進(jìn)而獲得線段PQ的長. 利用這些條件即可寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析:

(1)

如圖,過點(diǎn)DDMOB,垂足為M.

OA=OB=4

AB=OA+OB=4+4=8.

∵△ABD的面積為8,,

DM=2.

OB=OC,

∴在RtBOC中,∠OBC=45°

∴在RtBMD中,BM=DM=2.

OM=OB-BM=4-2=2.

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2, 2).

(2) 證明CEAD,

RtCEG中,∠EGC+GCE=90°,即∠EGC+OCF=90°,

∵在RtCOF中,∠OFC+OCF=90°,

EGC=OFC

OGA=OFC,

∵在△AOG和△COF中,

,

AOG≌△COF (AAS).

OG=OFOF=OG.

(3) 根據(jù)題意,分別對下面三種情況進(jìn)行討論.

①∠PCF=90°,CF=CP (如圖①).

過點(diǎn)DDMOB,垂足為M. 過點(diǎn)PPNOC,垂足為N.

∵∠PCN+OCF=180°-PCF=180°-90°=90°,

又∵在RtCOF中,∠CFO+OCF=90°,

∴∠PCN=CFO.

∵在△PNC和△COF中,

,

PNC≌△COF (AAS).

PN=CO=4,NC=OF.

DMOB,

OGDM,

∴△AOG∽△AMD

.

DM=2,AO=4AM=AO+OM=4+2=6,

OG=

NC=OF=OG=.

ON=OC+NC=4+=.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4, ).

②∠CFP=90°,CF=PF (如圖②).

過點(diǎn)PPHOB,垂足為H.

∵∠HFP+CFO=180°-CFP=180°-90°=90°,

又∵在RtCOF中,∠OCF+CFO=90°

∴∠HFP=OCF.

∵在△FHP和△COF中,

,

FHP≌△COF (AAS).

PH=FO=,FH=CO=4.

OH=OF+FH=+4=.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).

③∠CPF=90°PF=PC (如圖③).

過點(diǎn)PPQOB,垂足為Q. 過點(diǎn)PPROC,垂足為R.

∵∠CPR+FPR=CPF=90°,

又∵∠FPQ+FPR=QPR=90°

∴∠CPR=FPQ.

∵在△CRP和△FQP中,

,

CRP≌△FQP (AAS).

CR=FQ,PR=PQ.

PR=PQ=OQ=OR.

OC=CR+OR=FQ+OQ=FQ+(OF+FQ)=2FQ+OF.

2FQ+=4.

FQ=.

PQ=OQ=OF+FQ=+=.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).

綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4, ),(,)(,).

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