Question

【題目】閱讀材料：

如果兩個(gè)正數(shù)a，b，即a＞0，b＞0，則有下面的不等式： ，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，我們把叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，把叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)，于是上述的不等式可以表述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）他們的幾何平均數(shù)．它在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，是解決最大（�。┲祮�(wèn)題的有力工具．

實(shí)例剖析：

已知x＞0，求式子的最小值．

解：令a＝x，b＝，則由，得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程兩邊同時(shí)乘x，得到，解得x＝2，式子有最小值，最小值為4．

學(xué)以致用：

根據(jù)上面的閱讀材料回答下列問(wèn)題：

（1）已知x＞0，則當(dāng)x＝__________時(shí)，式子取到最小值，最小值為：_______________

（2）用籬笆圍一個(gè)面積為100m的長(zhǎng)方形花園，問(wèn)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少米？

（3）已知x＞0，則x取何值時(shí)，式子取到最小值，最小值是多少？

Answer 1

【答案】(1) ，；(2) 當(dāng)矩形的長(zhǎng)、寬各為10米時(shí)，所用籬笆最短，最短為40米；(3) 當(dāng)x=3時(shí)，y取得最小值為4．

【解析】

(1)令a=2x，b=，這兩個(gè)數(shù)都是正數(shù)，根據(jù)閱讀材料就可以直接得到結(jié)果；

(2)設(shè)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為x米，則寬=面積÷長(zhǎng)，即寬為米，則所用的籬笆長(zhǎng)等于長(zhǎng)加寬的和乘以2，根據(jù)閱讀材料即可求解；

(3)將原式整理成，根據(jù)閱讀材料直接求解最小值即可．

解：(1)令a=2x，b=，

已知，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，式子有最小值．

(2) 設(shè)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為x米，所用籬笆的長(zhǎng)度為y米，

根據(jù)題意得：，

由上述性質(zhì)可知：

∵，

∴，

此時(shí)，

解得：x=10，

∴當(dāng)矩形的長(zhǎng)、寬各為10米時(shí)，所用籬笆最短，最短為40米．

(3) ，

，

當(dāng)時(shí)，y取得最小值為4，

∴當(dāng)x=3時(shí)，y取得最小值為4．