Question

【題目】如圖，已知拋物線(xiàn)y=﹣+bx+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，若已知B點(diǎn)的坐標(biāo)為B（8，0）．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式及其對(duì)稱(chēng)軸方程；

（2）連接AC、BC，試判斷△AOC與△COB是否相似？并說(shuō)明理由；

（3）M為拋物線(xiàn)上BC之間的一點(diǎn)，N為線(xiàn)段BC上的一點(diǎn)，若MN∥y軸，求MN的最大值；

（4）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），對(duì)稱(chēng)軸：；

（2）相似，理由見(jiàn)試題解析；

（3）4；

（4）Q1（3，0），Q2（3，）），Q3（3，）．

【解析】

試題（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式求出b的值，即可得到拋物線(xiàn)解析式，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸方程列式計(jì)算即可得解；

（2）令y=0，解方程求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，令x=0求出y的值得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出OA、OB、OC，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，夾角相等的兩個(gè)三角形相似證明；

（3）設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為，利用待定系數(shù)法求出解析式，再表示出MN，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答；

（4）利用勾股定理列式求出AC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥對(duì)稱(chēng)軸于D，然后分①AC=CQ時(shí)，利用勾股定理列式求出DQ，分點(diǎn)Q在點(diǎn)D的上方和下方兩種情況求出點(diǎn)Q到x軸的距離，再寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；②點(diǎn)Q為對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)時(shí)，AQ=CQ，再寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．

試題解析：（1）∵點(diǎn)B（8，0）在拋物線(xiàn)上，∴，解得，∴拋物線(xiàn)的解析式為，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)；

（2）△AOC∽△COB．理由如下：令y=0，則，即，解得，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），令x=0，則y=4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），∴OA=2，OB=8，OC=4，∵=2，∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB；

（3）設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為，則：，解得：，∴直線(xiàn)BC的解析式為，∵M(jìn)N∥y軸，∴MN===，∴當(dāng)x=4時(shí)，MN的值最大，最大值為4；

（4）由勾股定理得，AC=，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥對(duì)稱(chēng)軸于D，則CD=3，①AC=CQ時(shí)，DQ===，

點(diǎn)Q在點(diǎn)D的上方時(shí)，點(diǎn)Q到x軸的距離為，此時(shí)點(diǎn)Q1（3，），

點(diǎn)Q在點(diǎn)D的下方時(shí)，點(diǎn)Q到x軸的距離為，此時(shí)點(diǎn)Q2（3，），

②點(diǎn)Q為對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)時(shí)，AQ=5，CQ==5，∴AQ=CQ，此時(shí)，點(diǎn)Q3（3，0），

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，）或（3，）或（3，0）時(shí)，△ACQ為等腰三角形時(shí)．