Question

【題目】如圖①，一次函數y=kx+b的圖象與二次函數y=x2的圖象相交于A，B兩點，點A，B的橫坐標分別為m，n（m＜0，n＞0）．

（1）當m=﹣1，n=4時，k=　，b=��；
當m=﹣2，n=3時，k=　，b=��；
（2）根據（1）中的結果，用含m，n的代數式分別表示k與b，并證明你的結論；
（3）利用（2）中的結論，解答下列問題：
如圖②，直線AB與x軸，y軸分別交于點C，D，點A關于y軸的對稱點為點E，連接AO，OE，ED．
①當m=﹣3，n＞3時，求 的值（用含n的代數式表示）；
②當四邊形AOED為菱形時，m與n滿足的關系式為_____�。�
當四邊形AOED為正方形時，m= ， n= ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當x=﹣1時，y=x2=1，則A（﹣1，1）；當x=4時，y=x2=16，則B（4，16），

把A（﹣1，1）、B（4，16）分別代入y=kx+b得，解得；

當x=﹣2時，y=x2=4，則A（﹣2，4）；當x=3時，y=x2=9，則B（3，9），

把A（﹣2，4）、B（3，9）分別代入y=kx+b得，解得；

故答案為：3，4；1，6；

（2）

解：k=m+n，b=﹣mn．理由如下：

把A（m，m2），B（n，n2）代入y=kx+b得，解得；

（3）

解：①當m=﹣3時，A（﹣3，9），

∵點A關于y軸的對稱點為點E，

∴E（3，9），

∵k=m+n，b=﹣mn，

∴k=﹣3+n，b=3n，

∴直線AB的解析式為y=（﹣3+n）x+3n，則D（0，3n），

當y=0時，（﹣3+n）x+3n=0，解得x=，則C（，0），

∴ ==（n＞3）；

②連結AE交OD于P，如圖②，

∵點A（m，m2）關于y軸的對稱點為點E，

∴E（﹣m，m2），

∴OP=m2，

∵k=m+n，b=﹣mn，

∴D（0，﹣mn），

若四邊形AOED為菱形，則OP=DP，即﹣mn=2m2，所以n=﹣2m；

若四邊形AOED為正方形，則OP=AP，即﹣m=m2，解得m=﹣1，所以n=﹣2m=2．

【解析】（1）根據二次函數圖象上點的坐標特征，由當m=﹣1，n=4得A（﹣1，1），B（4，16），然后利用待定系數法求出直線AB的解析式即可得到k和b的值；當m=﹣2，n=3時，用同樣的方法求解；
（2）根據二次函數圖象上點的坐標特征得到A（m，m2），B（n，n2），把它們分別代入y=kx+b得，然后解關于k、b的方程組即可得到k=m+n，b=﹣mn；
（3）①當m=﹣3時，A（﹣3，9），根據y軸對稱的點的坐標特征得E（3，9），再由（2）的結論得k=m+n，b=﹣mn，則直線AB的解析式為y=（﹣3+n）x+3n，接著求出D（0，3n），C（，0），然后根據三角形面積公式可計算出 的值；
②連結AE交OD于P，如圖②，點A（m，m2）關于y軸的對稱點E的坐標為（﹣m，m2），則OP=m2 ， 由于k=m+n，b=﹣mn，則D（0，﹣mn）；若四邊形AOED為菱形，根據菱形的性質OP=DP，即﹣mn=2m2 ， 可解得n=﹣2m；若四邊形AOED為正方形，根據正方形的性質得OP=AP=OP=PD，易得m=﹣1，n=2．