Question

【題目】已知：如圖，直線(xiàn)AB交兩坐標(biāo)軸于A（a，0）、B（0，b）兩點(diǎn)，且a，b滿(mǎn)足等式：+（b﹣4）2＝0，點(diǎn)P為直線(xiàn)AB上第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作OP的垂線(xiàn)且與過(guò)B點(diǎn)且平行于x軸的直線(xiàn)相交于點(diǎn)Q，

（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)P點(diǎn)在直線(xiàn)AB上的第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP﹣BQ的值變不變？如果不變，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若變化請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）延長(zhǎng)QO與直線(xiàn)AB交于點(diǎn)M．請(qǐng)判斷出線(xiàn)段AP，BM，PM三條線(xiàn)段構(gòu)成三角形的形狀，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) A（﹣4，0）、B（0，4）；(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由+（b-4）2直接可求a=-4，b=4；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AP，交x軸于點(diǎn)N，連接QN，則AN=AP，根據(jù)角的關(guān)系可證QM⊥ON，BQ=ON，AP-BQ=AN-ON=AO=4；
（3）直線(xiàn)AB的解析式y=x+4，設(shè)P（m，4+m），分別求出直線(xiàn)PO的解析式為y=x，直線(xiàn)PQ的解析式y=-x+，根據(jù)Q點(diǎn)縱坐標(biāo)與B點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，可求Q（2m+4，4），求出OQ的直線(xiàn)解析式為y=x，M（，），分別將邊表示出來(lái)PA2=2（m+4）2，BM2=2，PM2=2，利用勾股定理即可求解；

（1）+（b﹣4）2，

∴a＝﹣4，b＝4，

∴A（﹣4，0）、B（0，4）；

（2）如圖1：過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AP，交x軸于點(diǎn)N，連接QN，

∵AO＝BO＝4，

∴∠PAN＝45°，

∴AN＝AP，

∵∠BOP＝∠PQO，

∴∠PQO+∠PON＝90°，

∵∠OPQ＝90°，

∴∠BQN+∠QNO＝180°，

∵BQ∥ON，

∴QM⊥ON，

∴BQ＝ON，

∴AP﹣BQ＝AN﹣ON＝AO＝4；

（3）直線(xiàn)AB的解析式y＝x+4，

設(shè)P（m，4+m），

直線(xiàn)PO的解析式為y＝x，

∴直線(xiàn)PQ的解析式y＝﹣x+，

∵Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，

∴4＝﹣x+時(shí)，x＝2m+2，

Q（2m+4，4），

∴OQ的直線(xiàn)解析式為y＝x，

當(dāng)x＝x+4時(shí)，x＝，

∴M（，）

∴PA2＝2（m+4）2，

BM2＝2，

PM2＝2，

∴PA2+BM2＝PM2，

∴線(xiàn)段AP，BM，PM三條線(xiàn)段構(gòu)成三角形直角三角形；