Question

【題目】已知：如圖，直線y=3x+3與x軸交于C點，與y軸交于A點，B點在x軸上，△OAB是等腰直角三角形．

（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）若直線CD∥AB交拋物線于D點，求D點的坐標(biāo)；
（3）若P點是拋物線上的動點，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標(biāo)和△PAB的最大面積；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=3x+3=0得：x=﹣1，

故點C的坐標(biāo)為（﹣1，0）；

令x=0得：y=3x+3=3×0+3=3

故點A的坐標(biāo)為（0，3）；

∵△OAB是等腰直角三角形．

∴OB=OA=3，

∴點B的坐標(biāo)為（3，0），

設(shè)過A、B、C三點的拋物線的解析式y(tǒng)=ax2+bx+c，

解得：

∴解析式為：y=﹣x2+2x+3

（2）解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

∴

解得：

∴直線AB的解析式為：y=﹣x+3

∵線CD∥AB

∴設(shè)直線CD的解析式為y=﹣x+b

∵經(jīng)過點C（﹣1，0），

∴﹣（﹣1）+b=0

解得：b=﹣1，

∴直線CD的解析式為：y=﹣x﹣1，

令﹣x﹣1=﹣x2+2x+3，

解得：x=﹣1，或x=4，

將x=4代入y=﹣x2+2x+3=﹣16+2×4+3=﹣5，

∴點D的坐標(biāo)為：（4，﹣5）

（3）解：存在．如圖1所示，設(shè)P（x，y）是第一象限的拋物線上一點，

過點P作PN⊥x軸于點N，則ON=x，PN=y，BN=OB﹣ON=3﹣x．

S△ABP=S梯形PNOA+S△PNB﹣S△AOB

= （OA+PN）ON+ PNBN﹣ OAOB

= （3+y）x+ y（3﹣x）﹣ ×3×3

= （x+y）﹣ ，

∵P（x，y）在拋物線上，∴y=﹣x2+2x+3，代入上式得：

S△PAB= （x+y）﹣ =﹣ （x2﹣3x）=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴當(dāng)x= 時，S△PAB取得最大值．

當(dāng)x= 時，y=﹣x2+2x+3= ，

∴P（ ， ）．

所以，在第一象限的拋物線上，存在一點P，使得△ABP的面積最大；

P點的坐標(biāo)為（ ， ），最大值為：

【解析】（1）先求出直線AC與x軸、y軸的交點的坐標(biāo)，就可得出點A、C的坐標(biāo)，再根據(jù)△OAB是等腰直角三角形．得出OA=OB，得出點B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法就可求出過A、B、C三點的拋物線的解析式。
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AB的函數(shù)解析式，再根據(jù)CD∥AB，可知直線CD的解析式和直線AB的解析式中k值相等，再把點C的坐標(biāo)代入即可求出直線CD的函數(shù)解析式，然后由拋物線的解析式和直線CD的解析式聯(lián)立方程，解方程就可求出點D的坐標(biāo)。
（3）抓住已知P點是拋物線上的動點且在第一象限，因此過點P作PN⊥x軸于點N，設(shè)P（x，﹣x2+2x+3），用含x的代數(shù)式分別表示出ON、PN、BN的長，再根據(jù)S△ABP=S梯形PNOA+S△PNB﹣S△AOB建立s與x的函數(shù)解析式，求出其頂點坐標(biāo)，即可得出結(jié)果。
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解確定一次函數(shù)的表達(dá)式(確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法)，還要掌握二次函數(shù)的最值(如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．