【題目】(1)如圖1,矩形中,點、分別在線段、上,點與點關于對稱,點在線段上,連接、、交于點.求證:四邊形是菱形;
(2)如圖2,矩形中,,點、分別在線段、上,點與點關于對稱,點在線段上,,求的長;
(3)如圖3,有一塊矩形空地,,,點是一個休息站且在線段上,,點在線段上,現(xiàn)要在點關于對稱的點處修建一口水井,并且修建水渠和,以便于在四邊形空地上種植花草,余下部分貼上地磚.種植花草的四邊形空地的面積是否存在最小值,若存在,請求出最小值,若不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2);(3)3000.
【解析】
(1)先證,證明四邊形是平行四邊形,再根據(jù)即可證明是菱形;
(2)連接,設,在Rt△APE中,根據(jù)勾股定理解出x即可;
(3)先表示出四邊形的面積得到最小時,四邊形的面積最小,當點,,在同一條線上時,最小,再證,根據(jù)相似比求出EG,從而求出面積的最小值.
解:(1)證明:由對稱可知:,
在矩形中,,
∴,
在 △POE和△QOB中,
∴,
∴,
∵,
∴四邊形是平行四邊形,
∵點與點關于對稱,
∴,
∴四邊形是菱形;
(2)連接,由對稱知,,
設,
∴,
在Rt△APE中,根據(jù)勾股定理得,即,
∴解得:,
∴;
(3)連接,在中,,,
∴,
連接,過點作于,
∴四邊形
,
∴最小時,四邊形的面積最小,
對稱可知,,
∴點是以點為圓心,為半徑的一段弧上的一點,
∴點,,在同一條線上時,最小,
∴,,
∴,
∴,即,
∴,
∴最小,
∴四邊形的面積最小值S.
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【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax+bx+c圖象的一部分,其對稱軸為x=-1,且過點(-3,0).下列說法:①abc<0;②3a+c=0;③4a+2b+c<0;④若(-5,y1),(,y2)是拋物線上兩點,則y1> y2.其中說法正確的是( )
A.①②B.②③C.①②④D.②③④
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)與軸交于、兩點(點在點左),與軸交于點,連接,點為二次函數(shù)圖象上的動點.
(1)若的面積為3,求拋物線的解析式;
(2)在(1)的條件下,若在軸上存在點,使得,求點的坐標;
(3)若為對稱軸右側拋物線上的動點,直線交軸于點,直線交軸于點,判斷的值是否為定值,若是,求出定值,若不是請說明理由.
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【題目】中國飛人蘇炳添以6秒47獲得2019年國際田聯(lián)伯明翰室內賽男子60米冠軍,蘇炳添奪冠掀起跑步熱潮某校為了解該校八年級男生的短跑水平,全校八年級男生中隨機抽取了部分男生,對他們的短跑水平進行測試,并將測試成績(滿分10分)繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖表:
組別 | 成績/分 | 人數(shù)/人 |
A | 5 | 36 |
B | 6 | 32 |
C | 7 | 15 |
D | 8 | 8 |
E | 9 | 5 |
F | 10 | m |
請你根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息,解答下列問題:
(1)填空:m=_____,n=_____;
(2)所抽取的八年級男生短跑成績的眾數(shù)是_____分,扇形統(tǒng)計圖中E組的扇形圓心角的度數(shù)為____°;
(3)求所抽取的八年級男生短跑的平均成績.
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【題目】如圖,等腰△ABC的底邊BC=20,面積為120,點F在邊BC上,且BF=3FC,EG是腰AC的垂直平分線,若點D在EG上運動,則△CDF周長的最小值為__.
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【題目】已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點,與軸交于點,若,且.
(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達式;
(2)若點為x軸上一點,是等腰三角形,求點的坐標.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點,點,點.
(1)畫出關于軸的對稱圖形,并寫出點的對稱點的坐標;
(2)若點在軸上,連接、,則的最小值是 ;
(3)若直線軸,與線段、分別交于點、(點不與點重合),若將沿直線翻折,點的對稱點為點,當點落在的內部(包含邊界)時,點的橫坐標的取值范圍是 .
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【題目】某校組織數(shù)學興趣探究活動,愛思考的小實同學在探究兩條直線的位置關系查閱資料時發(fā)現(xiàn),兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖1、圖2、圖3中,AF、BE是△ABC的中線,AF⊥BE于點P,像△ABC這樣的三角形均稱為“中垂三角形”.
(1)如圖1,當∠PAB=45°,AB=6時,AC= ,BC= ;如圖2,當sin∠PAB=,AB=4時,AC= ,BC= ;
(2)請你觀察(1)中的計算結果,猜想AB2、BC2、AC2三者之間的關系,用等式表示出來,并利用圖3證明你的結論.
(3)如圖4,在△ABC中,AB=4,BC=2,D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點,連結DE并延長至G,使得GE=DE,連結BG,當BG⊥AC于點M時,求GF的長.
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【題目】某中學九年級男生共250人,現(xiàn)隨機抽取了部分九年級男生進行引體向上測試,相關數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖如下.設學生引體向上測試成績?yōu)?/span>x(單位:個).學校規(guī)定:當0≤x<2時成績等級為不及格,當2≤x<4時成績等級為及格,當4≤x<6時成績等級為良好,當x≥6時成績等級為優(yōu)秀.樣本中引體向上成績優(yōu)秀的人數(shù)占30%,成績?yōu)?/span>1個和2個的人數(shù)相同.
(1)補全統(tǒng)計圖;
(2)估計全校九年級男生引體向上測試不及格的人數(shù).
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