Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線和拋物線W交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A是拋物線W的頂點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)A在直線上運(yùn)動時，拋物線W隨點(diǎn)A作平移運(yùn)動．在拋物線平移的過程中，線段AB的長度保持不變．

應(yīng)用上面的結(jié)論，解決下列問題：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線．點(diǎn)A是直線上的一個動點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為．以A為頂點(diǎn)的拋物線與直線的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)B．

（1）當(dāng)時，求拋物線的解析式和AB的長；

（2）當(dāng)點(diǎn)B到直線OA的距離達(dá)到最大時，直接寫出此時點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)A作垂直于軸的直線交直線于點(diǎn)C．以C為頂點(diǎn)的拋物線與直線的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)D．

①當(dāng)AC⊥BD時，求的值；

②若以A，B，C，D為頂點(diǎn)構(gòu)成的圖形是凸四邊形（各個內(nèi)角度數(shù)都小于180°）時，直接寫出滿足條件的的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①；②的取值范圍是或．

【解析】

（1）根據(jù)t=0時，A的坐標(biāo)可以求得是（0，-2），利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，則B的坐標(biāo)可以求得；
（2）△OAB的面積一定，當(dāng)OA最小時，B到OA的距離即△OAB中OA邊上的高最大，此時OA⊥AB，據(jù)此即可求解；
（3）①方法一：設(shè)AC，BD交于點(diǎn)E，直線l1：y=x-2，與x軸、y軸交于點(diǎn)P和Q（如圖1）．由點(diǎn)D在拋物線C2：y=[x-（2t-4）]2+（t-2）上，可得 =[（t-1）-（2t-4）]2+（t-2），解方程即可得到t的值；
方法二：設(shè)直線l1：y=x-2與x軸交于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作y軸的平行線，過點(diǎn)B作x軸的平行線，交于點(diǎn)N．（如圖2），根據(jù)BD⊥AC，可得t-1=2t-，解方程即可得到t的值；
②設(shè)直線l1與l2交于點(diǎn)M．隨著點(diǎn)A從左向右運(yùn)動，從點(diǎn)D與點(diǎn)M重合，到點(diǎn)B與點(diǎn)M重合的過程中，可得滿足條件的t的取值范圍．

解：（1）∵點(diǎn)A在直線l1：y=x-2上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為0，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-2），
∴拋物線C1的解析式為y=-x2-2，
∵點(diǎn)B在直線l1：y=x-2上，
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，x-2）．
∵點(diǎn)B在拋物線C1：y=-x2-2上，
∴x-2=-x2-2，
解得x=0或x=-1．
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，-3），
∴由勾股定理得AB=．
（2）當(dāng)OA⊥AB時，點(diǎn)B到直線OA的距離達(dá)到最大，則OA的解析式是y=-x，則
，解得： ，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，-1）．

（3）①方法一：設(shè)，交于點(diǎn)，直線，與軸、軸交于點(diǎn)和（如圖1）．

則點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．

∴．

∵．

∵軸，

∴軸．

∴．

∵，，

∴．

∵點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

∵軸，

∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．

∵點(diǎn)在直線上，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

∴拋物線的解析式為．

∵，

∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

∵點(diǎn)在直線上，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

∵點(diǎn)在拋物線上，

∴．

解得或．

∵當(dāng)時，點(diǎn)與點(diǎn)重合，

∴

方法二：設(shè)直線l1：y=x-2與x軸交于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作y軸的平行線，過點(diǎn)B作x軸的平行線，交于點(diǎn)N．（如圖2）

則∠ANB=90°，∠ABN=∠OPB．
在△ABN中，BN=ABcos∠ABN，AN=ABsin∠ABN．
∵在拋物線C1隨頂點(diǎn)A平移的過程中，
AB的長度不變，∠ABN的大小不變，
∴BN和AN的長度也不變，即點(diǎn)A與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的差以及縱坐標(biāo)的差都保持不變．
同理，點(diǎn)C與點(diǎn)D的橫坐標(biāo)的差以及縱坐標(biāo)的差也保持不變．
由（1）知當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-2）時，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，-3），
∴當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，t-2）時，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t-1，t-3）．
∵AC∥x軸，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為t-2．
∵點(diǎn)C在直線l2：y＝x上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2t-4，t-2）．
令t=2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0）．
∴拋物線C2的解析式為y=x2．
∵點(diǎn)D在直線l2：y＝x上，
∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，)．
∵點(diǎn)D在拋物線C2：y=x2上，
∴＝x2．
解得x＝或x=0．
∵點(diǎn)C與點(diǎn)D不重合，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)．
∴當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0）時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)．
∴當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2t-4，t-2）時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2t，t)．
∵BD⊥AC，
∴t1＝2t．
∴t＝．
②t的取值范圍是t＜或t＞5．
設(shè)直線l1與l2交于點(diǎn)M．隨著點(diǎn)A從左向右運(yùn)動，從點(diǎn)D與點(diǎn)M重合，到點(diǎn)B與點(diǎn)M重合的過程中，以A，B，C，D為頂點(diǎn)構(gòu)成的圖形不是凸四邊形．