Question

如圖，過四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別作對(duì)角線AC，BD的平行線，所圍成的四邊形EFGH顯然是平行四邊形．在進(jìn)一步學(xué)習(xí)時(shí)，小明和小亮產(chǎn)生了很大的意見分歧：
小明說：如果一個(gè)是平行四邊形EFGH是矩形，則四邊形ABCD一定是菱形；
小亮說：如果一個(gè)平行四邊形EFGH是矩形，則四邊形ABCD一定是對(duì)角線互相垂直的四邊形，而不一定是菱形．
（1）你認(rèn)為誰的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的．
（2）如果四邊形ABCD對(duì)角線相等，平行四邊形EFGH形狀為

菱形

（3）如果四邊形EFGH為正方形，則四邊形ABCD必須滿足條件

對(duì)角線互相垂直且相等

，并且在下面的網(wǎng)格中畫出符合條件（3）的圖形并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形和矩形的判定方法，可以直接判定小明和小亮的觀點(diǎn)誰正確．
（2）根據(jù)菱形的判定方法可知，如果四邊形ABCD對(duì)角線相等，那么平行四邊形EFGH是菱形．
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可知四邊形ABCD必須滿足條件為對(duì)角線互相垂直且相等，先判定ACGH、DBFG、EFGH為平行四邊形，再證明EFGH為矩形且為菱形，即四邊形EFGH為正方形．

解答：解：（1）小明的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的．
根據(jù)已知只能證明四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直，四邊形ABCD不一定是平行四邊形，所以四邊形ABCD不一定是菱形，故小明的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的．   
（2）由四邊形ABCD對(duì)角線相等和平行四邊形的性質(zhì)可證明平行四邊形EFGH的鄰邊相等，故平行四邊形EFGH形狀為菱形． 
（3）四邊形ABCD必須滿足條件為對(duì)角線互相垂直且相等．
符合條件的圖如下：

如網(wǎng)格中圖ABCD中，AC⊥BD且AC=BD
∵EF∥AC∥HG，HE∥DB∥GF，AC⊥BD
∴ACGH、DBFG、EFGH為平行四邊形，
∠HAC=90°，∠AHG=90°
∴HG=AC，GF=BD，EFGH為矩形                                  
∵AC=BD
∴HG=GF
∴EFGH為菱形
∴EFGH為正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了菱形、矩形和正方形的判定，注意靈活運(yùn)用平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．菱形的判別方法是說明一個(gè)四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義；
②四邊相等；③對(duì)角線互相垂直平分．