Question

（2012•溫州三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，BC=3，AC=4，D是AC的中點(diǎn)，P是AB上一動點(diǎn)，連接DP并延長至點(diǎn)E，使EP=DP，過P作PK⊥AC，K為垂足．設(shè)AP=m（0≤m≤5）．
（1）用含m的代數(shù)式表示DK的長；
（2）當(dāng)AE∥BC時(shí)，求m的值；
（3）四邊形AEBC的面積S會隨m的變化而變化嗎？若不變，求出S的值；若變化，求出S與m的函數(shù)關(guān)系式；
（4）作點(diǎn)E關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)E'，當(dāng)△DE'K是等腰三角形時(shí)，求m的值．（直接寫出答案即可）

Answer 1

分析：（1）在Rt△APK和Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)可得AK=

4

5

m，再分0≤m≤2.5和2.5＜m≤5兩種情況討論可得DK的長；
（2）先證△DPK∽△EDA，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得m的值；
（3）分別過D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，G、H為垂足，由AAS可證△DGP≌△EHP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)可得EH=DG=

3

5

×2=

6

5

，則S_{四邊形AEBC}=S_△ABC+S_△ABE，求得S的值；
（4）找到E點(diǎn)關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)E'在DK的垂直平分線上的點(diǎn)，依此得到m的值．

解答：解：（1）在Rt△APK和Rt△ABC中
cos∠BAC=

AC

AB

=

AK

AP

=

4

5

∴AK=

4

5

m…（1分）
∴當(dāng)0≤m≤2.5時(shí)，DK=2-

4

5

m；
當(dāng)2.5＜m≤5時(shí)，DK=

4

5

m-2；

（2）∵PK⊥AC，∠C=Rt∠，
∴PK∥BC∥AE，
∴△DPK∽△EDA，
∴

DP

DE

=

DK

DA

，
∵EP=DP，
∴

DK

DA

=

1

2

，即DK=

1

2

AD=1，
∴2-

4

5

m=1，
解得 m=

5

4

；

（3）四邊形AEBC的面積S不變，且S=9   
理由如下：
分別過D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，G、H為垂足
則∠DGP=∠EHP=Rt∠
∵在△DPK與△EDA中，

∠DGP=∠EHP ∠GPD=∠HPE DP=EP

，
∴△DGP≌△EHP（AAS）
∴DG=EH   
∵sin∠BAC=

BC

AB

=

DG

AD

=

3

5

∴EH=DG=

3

5

×2=

6

5

，
∴S_{四邊形AEBC}=S_△ABC+S_△ABE=

1

2

×3×4+

1

2

×5×

6

5

=9；

（4）當(dāng)△DE'K是等腰三角形時(shí)，m1=0，m2=1，m3=

13

10

，m4=

13

7

．

點(diǎn)評：考查了相似形綜合題，涉及的知識有：三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．