【題目】已知,如圖,ABCD中,BE,CF分別是∠ABC和∠BCD的一平分線,BE,CF相交于點O.

(1)求證:BE⊥CF;
(2)試判斷AF與DE有何數(shù)量關系,并說明理由;
(3)當△BOC為等腰直角三角形時,四邊形ABCD是何特殊四邊形?
(直接寫出答案)

【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AB∥CD

∴∠ABC+∠BCD=180°

又∵BE,CF分別是∠ABC,∠BCD的平分線

∴∠EBC+∠FCB=90°

∴∠BOC=90°

故BE⊥CF


(2)解:AF=DE

理由如下:

∵AD∥BC

∴∠AEB=∠CBE

又∵BE是∠ABC的平分線,

∴∠ABE=∠CBE

∴∠AEB=∠ABE

∴AB=AE

同理CD=DF

又∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AB=CD

∴AE=DF

∴AF=DE


(3)解:當△BOC為等腰直角三角形時四邊形ABCD是矩形
【解析】(1)平行四邊形中鄰角互補,且BE、CF分別為一組鄰角的平分線,所以BE和CF垂直.(2)在三角形AEB中,因為BE為平分線,AD和BC平行,所以可得∠ABE=∠AEB,即AB=AE,同理,DF=DC,所以AF=DE.(3)當△BOC為等腰直角三角形時,即∠BOC=90°,由題可知,∠ABC=∠BCD=90°,有一個角是直角的平行四邊形為矩形.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關知識,掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點,則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點,并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積,以及對矩形的判定方法的理解,了解有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形;有三個角是直角的四邊形是矩形;兩條對角線相等的平行四邊形是矩形.

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A.1.2×0.8x+2×0.9(60+x)=87
B.1.2×0.8x+2×0.9(60﹣x)=87
C.2×0.9x+1.2×0.8(60+x)=87
D.2×0.9x+1.2×0.8(60﹣x)=87

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