【題目】問題:如圖1,在四邊形ABCD中,點P為AB上一點,DPC=A=B=90°.求證:ADBC=APBP.

(2)探究:如圖2,在四邊形ABCD中,點P為AB上一點,當DPC=A=B=θ時,上述結(jié)論是否依然成立?說明理由.

(3)應(yīng)用:請利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗解決問題:

如圖3,在ABD中,AB=12,AD=BD=10.點P以每秒1個單位長度的速度,由點A出發(fā),沿邊AB向點B運動,且滿足DPC=A.設(shè)點P的運動時間為t(秒),當以D為圓心,以DC為半徑的圓與AB相切,求t的值.

【答案】(1)見解析;(2)仍成立,見解析;(3)t的值為2秒或10秒.

【解析】

試題分析:(1)由DPC=A=B=90°可得ADP=BPC,即可證到ADP∽△BPC,然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題;

(2)由DPC=A=B=θ可得ADP=BPC,即可證到ADP∽△BPC,然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題;

(3)過點D作DEAB于點E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AE=BE=6,根據(jù)勾股定理可得DE=8,由題可得DC=DE=8,則有BC=10﹣8=2.易證DPC=A=B.根據(jù)ADBC=APBP,就可求出t的值.

(1)證明:如圖1,

∵∠DPC=A=B=90°,

∴∠ADP+APD=90°,

BPC+APD=90°,

∴∠APD=BPC,

∴△ADP∽△BPC,

,

ADBC=APBP;

(2)結(jié)論ADBC=APBP仍成立;

理由:證明:如圖2,∵∠BPD=DPC+BPC,

∵∠BPD=A+APD,

∴∠DPC+BPC=A+APD,

∵∠DPC=A=θ,

∴∠BPC=APD,

∵∠A=B=θ

∴△ADP∽△BPC,

,

ADBC=APBP;

(3)解:如下圖,過點D作DEAB于點E,

AD=BD=10,AB=12,

AE=BE=6

DE==8,

以D為圓心,以DC為半徑的圓與AB相切,

DC=DE=8

BC=10﹣8=2,

AD=BD,

∴∠A=B

∵∠DPC=A,

∴∠DPC=A=B

由(1)(2)的經(jīng)驗得ADBC=APBP,

AP=t,BP=12﹣t,

t(12﹣t)=10×2,

t=2或t=10,

t的值為2秒或10秒.

練習冊系列答案
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