Question

【題目】問題提出

（1）如圖1，正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，△CDE是邊長為6的等邊三角形，則O、E之間的距離為 ；

問題探究

（2）如圖2，在邊長為6的正方形ABCD中，以CD為直徑作半圓O，點(diǎn)P為弧CD上一動(dòng)點(diǎn)，求A、P之間的最大距離；

問題解決

（3）窯洞是我省陜北農(nóng)村的主要建筑，窯洞賓館更是一道靚麗的風(fēng)景線，是因?yàn)楦G洞除了它的堅(jiān)固性及特有的外在美之外，還具有冬暖夏涼的天然優(yōu)點(diǎn)家住延安農(nóng)村的一對即將參加中考的雙胞胎小寶和小貝兩兄弟，發(fā)現(xiàn)自家的窯洞(如圖3所示)的門窗是由矩形ABCD及弓形AMD組成，AB=2m，BC=3.2m，弓高MN=1.2m(N為AD的中點(diǎn)，MN⊥AD)，小寶說，門角B到門窗弓形弧AD的最大距離是B、M之間的距離．小貝說這不是最大的距離，你認(rèn)為誰的說法正確？請通過計(jì)算求出門角B到門窗弓形弧AD的最大距離．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（2）小貝的說法正確，理由見解析，．

【解析】

（1）連接AC，BD，由OE垂直平分DC可得DH長，易知OH、HE長，相加即可；

（2）補(bǔ)全⊙O，連接AO并延長交⊙O右半側(cè)于點(diǎn)P，則此時(shí)A、P之間的距離最大，在Rt△AOD中，由勾股定理可得AO長，易求AP長；

（3）小貝的說法正確，補(bǔ)全弓形弧AD所在的⊙O，連接ON，OA，OD，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，連接BO并延長交⊙O上端于點(diǎn)P，則此時(shí)B、P之間的距離即為門角B到門窗弓形弧AD的最大距離，在Rt△ANO中，設(shè)AO=r，由勾股定理可求出r，在Rt△OEB中，由勾股定理可得BO長，易知BP長.

解：（1）如圖1，連接AC，BD，對角線交點(diǎn)為O，連接OE交CD于H，則OD=OC．

∵△DCE為等邊三角形，

∴ED=EC，

∵OD=OC

∴OE垂直平分DC，

∴DHDC=3．

∵四邊形ABCD為正方形，

∴△OHD為等腰直角三角形，

∴OH=DH=3，

在Rt△DHE中，

HEDH=3，

∴OE=HE+OH=33；

（2）如圖2，補(bǔ)全⊙O，連接AO并延長交⊙O右半側(cè)于點(diǎn)P，則此時(shí)A、P之間的距離最大，

在Rt△AOD中，AD=6，DO=3，

∴AO3，

∴AP=AO+OP=33；

（3）小貝的說法正確．理由如下，

如圖3，補(bǔ)全弓形弧AD所在的⊙O，連接ON，OA，OD，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，連接BO并延長交⊙O上端于點(diǎn)P，則此時(shí)B、P之間的距離即為門角B到門窗弓形弧AD的最大距離，

由題意知，點(diǎn)N為AD的中點(diǎn)，，

∴ANAD=1.6，ON⊥AD，

在Rt△ANO中，

設(shè)AO=r，則ON=r﹣1.2．

∵AN2+ON2=AO2，

∴1.62+(r﹣1.2)2=r2，

解得：r，

∴AE=ON1.2，

在Rt△OEB中，OE=AN=1.6，BE=AB﹣AE，

∴BO，

∴BP=BO+PO，

∴門角B到門窗弓形弧AD的最大距離為．