Question

【題目】已知，ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O．

(1)如圖1，連接AF、CE．求證：四邊形AFCE為菱形．

(2)如圖1，求AF的長(zhǎng)．

(3)如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周．即點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P的速度為每秒1cm，點(diǎn)Q的速度為每秒0.8cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，若當(dāng)以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)AF＝5；(3)以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t＝秒．

【解析】

（1）先證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形作出判定；

（2）根據(jù)勾股定理即可求的長(zhǎng)；

（3）分情況討論可知，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可；

解：（1）四邊形是矩形，

，

，．

垂直平分，

．

在和中，

，

，

．

，

四邊形是平行四邊形，

，

四邊形為菱形．

（2）設(shè)菱形的邊長(zhǎng)，則，

在中，，由勾股定理，得

，

解得：，

．

（3）由作圖可以知道，點(diǎn)上時(shí)，點(diǎn)上，此時(shí)，，，四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；

同理點(diǎn)上時(shí)，點(diǎn)或上，也不能構(gòu)成平行四邊形．

只有當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，

以，，，四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，

，

點(diǎn)的速度為每秒，點(diǎn)的速度為每秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，

，，

，

解得：．

以，，，四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，秒．