Question

【題目】對于一個(gè)函數(shù)給出如下定義：對于函數(shù)，若當(dāng)，函數(shù)值滿足，且滿足，則稱此函數(shù)為“屬和合函數(shù)”．

例如：正比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，求得：，所以函數(shù)為“3屬和合函數(shù)”．

（1）若一次函數(shù)為“1屬和合函數(shù)”，則的值_________；

（2）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是“屬和合函數(shù)”，則的取值范圍_________．

Answer 1

【答案】a＝1或a＝﹣1

【解析】

（1）分兩種情況：利用“k屬和合函數(shù)”的定義即可得出結(jié)論；

（2）分四種情況，各自確定出最大值和最小值，最后利用“k屬和合函數(shù)”的定義即可得出結(jié)論；

解：（1）當(dāng)a＞0時(shí)，
∵1≤x≤5，
∴a-1≤y≤5a-1，
∵函數(shù)y=ax-1（1≤x≤5）為“1屬和合函數(shù)”，
∴（5a-1）-（a-1）=5-1，
∴a=1；
當(dāng)a＜0時(shí)，（a-1）-（5a-1）=5-1，
∴a=-1，

∴a＝1或a＝-1；

（2）∵二次函數(shù)y=-3x2+6ax+a2+2a的對稱軸為直線x=a，
∵當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，y是“k屬和合函數(shù)”，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，y=a2-4a-3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=a2+8a-3，
當(dāng)x=a時(shí)，y=4a2+2a，
①如圖1，當(dāng)a≤-1時(shí)，
當(dāng)x=-1時(shí)，有ymax=a2-4a-3，
當(dāng)x=1時(shí)，有ymin=a2+8a-3
∴（a2-4a-3）-（a2+8a-3）=2k，
∴k=-6a，
∴k≥6；

②如圖2，當(dāng)-1＜a≤0時(shí)，
當(dāng)x=a時(shí)，有ymax=4a2+2a，
當(dāng)x=1時(shí)，有ymin=a2+8a-3
∴（4a2+2a）-（a2+8a-3）=2k，
∴k=（a-1）2，
∴≤k＜6；

③如圖3，當(dāng)0＜a≤1時(shí)，
當(dāng)x=a時(shí)，有ymax=4a2+2a，
當(dāng)x=-1時(shí)，有ymin=a2-4a-3
∴（4a2+2a）-（a2-4a-3）=2k，
∴k=＜k≤6；

④如圖4，當(dāng)a＞1時(shí)，
當(dāng)x=1時(shí)，有ymax=a2+8a-3，
當(dāng)x=-1時(shí)，有ymin=a2-4a-3
∴（a2+8a-3）-（a2-4a-3）=2k，
∴k=-6a，
∴k＞6；

即：k的取值范圍為k≥.