Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線AB分別交x、y軸于點A、B，直線BC分別交x、y軸于點C、B，點A的坐標為（3，0），∠ABO=30°，且AB⊥BC．

（1）求直線BC和AB的解析式；

（2）將點B沿某條直線折疊到點O，折痕分別交BC、BA于點E、D，在x軸上是否存在點F，使得點D、E、F為頂點的三角形是以DE為斜邊的直角三角形？若存在，請求出F點坐標；若不存在，請說明理由；

（3）在平面直角坐標系內是否存在兩個點，使得這兩個點與B、C兩點構成的四邊形是正方形？若存在，請求出這兩點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+3x，y=-x+3（2）點F（0，0）或（﹣3，0）（3）點M（﹣9﹣3，9），點N（﹣3，9+3）；點F（，），點E坐標為（，）

【解析】

（1）根據題意可求點B，點C的坐標，用待定系數(shù)法可求解析式；（2）由題意可證DE是三角形的中位線，可求點D，點E的坐標，根據勾股定理可列方程，即可求點F的坐標；（3）分BC為邊，BC為對角線討論，根據正方形的性質，可求點的坐標．

（1）∵點A的坐標為（3，0）

∴AO=3

∵∠ABO=30°，∠AOB=90°

∴BO=AO=3，AB=2OA=6，∠OAB=60°，

又∵AB⊥BC

∴∠ACB=30°

∴AC=2AB=12

∴OC=AC﹣OA=12﹣3=9

∵OC=9，OB=3

∴點B（0，3），點C（﹣9，0）

設直線BC解析式y(tǒng)=kx+b

，

解得：k=，b=3

∴直線BC解析式y(tǒng)=x+3

設直線AB解析式y(tǒng)=mx+n

，

解得：m=﹣，n=3

∴直線AB解析式y(tǒng)=﹣x+3

（2）

∵折疊，點O與點B重合

∴DE是BO的垂直平分線

∴EO=BE，BD=OD

∴∠EBO=∠EOB，∠DBO=∠DOB

∵BO⊥CO

∴∠EBO+∠ECO=90°，∠EOB+∠EOC=90°

∴∠EOC=∠ECO

∴CE=EO

∴CE=BE

同理BD=DA

∴DE=AC=6

∵點A（3，0），點B（0，3），點C（﹣9，0）

∴點E（﹣，），點D（，）

設點F（x，0）

∵△EFD是直角三角形，DE是斜邊

∴DE2=EF2+DF2．

∴36=（x+）2++（x﹣）2+

解得：x1=0，x2=﹣3

∴點F（0，0）或（﹣3，0）

（3）若BC為邊，在BC上方和下方作正方形，如圖：四邊形BCFE是正方形，四邊形BCMN是正方形

過點F作FH⊥AC于點H，過點E作EG⊥BO于點G

∵四邊形BCFE是正方形

∴BC=CF，∠BCF=90°

∴∠BCO+∠FCH=90°，且∠FCH+∠CFH=90°

∴∠BCO=∠CFH且∠BOC=∠CHF=90°，BC=CF

∴△BCO≌△CFO（AAS）

∴CH=OB=3，HF=CO=9

∴OH=9﹣3

∴點F（﹣9+3，﹣9）

同理可得△BEG≌△CBO

∴BG=CO=9，GE=BO=3

∴OG=9﹣3

∴點E（3，﹣9+3）

同理可得：點M（﹣9﹣3，9），點N（﹣3，9+3）

若BC為對角線，如圖：四邊形BECF是正方形

過點F作FM⊥CO于點M，作FN⊥BO于點 N

∵FM⊥CO，F(xiàn)N⊥BO，BO⊥CO

∴四邊形OMFN是矩形

∴OM=FN，ON=FM

∵四邊形BECF是正方形

∴CF=BF，∠CFB=90°

∵∠CFB=∠COB=90°

∴點C，點B，點O，點F四點共圓

∴∠FCO=∠OBF，且CF=BF，∠FMC=∠FNB=90°

∴△FMC≌△FNB（AAS）

∴FM=FN，CM=BN

∴邊形FNOM是正方形

∴OM=ON=FM=FN

∵CM+OM=9，BN﹣ON=3

∴OM=ON=，CM=BN=

∴點F（，）

同理可求點E坐標為（，）