Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我們把菱形ABCD的對(duì)稱中心O稱作菱形的中心．菱形ABCD在直線l上向右作無(wú)滑動(dòng)的翻滾，每繞著一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°叫一次操作，則經(jīng)過(guò)1次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為；經(jīng)過(guò)3n（n為正整數(shù)）次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)為 ． （結(jié)果都保留π）

Answer 1

【答案】； nπ
【解析】解：∵菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
BO=DO=1，
AO= = ，
第一次旋轉(zhuǎn)的弧長(zhǎng)= = ，
∵第一、二次旋轉(zhuǎn)的弧長(zhǎng)和= + = π，
第三次旋轉(zhuǎn)的弧長(zhǎng)為： =
∵3n÷3=n，
故經(jīng)過(guò)3n（n為正整數(shù)）次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)為：n×（ π+ ）= nπ．
故答案為： ； nπ．

從圖中可以看出，第一次旋轉(zhuǎn)是以點(diǎn)A為圓心，那么菱形中心旋轉(zhuǎn)的半徑就是OA，解直角三角形可求出OA的長(zhǎng)，圓心角是60°．第二次還是以點(diǎn)A為圓心，那么菱形中心旋轉(zhuǎn)的半徑就是OA，圓心角是60°．第三次就是以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，OB為半徑，旋轉(zhuǎn)的圓心角為60度．旋轉(zhuǎn)到此菱形就又回到了原圖．故這樣旋轉(zhuǎn)3n次，就是這樣的n個(gè)弧長(zhǎng)的總長(zhǎng)，依此計(jì)算即可得，進(jìn)而得出經(jīng)過(guò)3n（n為正整數(shù)）次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)．