【題目】如圖,平面內(nèi)一定點(diǎn)A在直線MN的上方,點(diǎn)O為直線MN上一動(dòng)點(diǎn) ,作射線OA、OP、OA’,當(dāng)點(diǎn)O在直線MN上運(yùn)動(dòng)時(shí),始終保持∠MOP=90°、∠AOP=∠A’OP,將射線OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到射線OB

(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)A在射線OP的左側(cè),若OB平分∠A’OP,求∠AOP的度數(shù);

(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)A在射線OP的左側(cè),∠AOM=3A’OB時(shí),求的值

(3)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻時(shí),∠A’OB=150°,直接寫出∠BOP= .

【答案】(1) ∠AOP=40°;(2) 或6; (3) 105或135.

【解析】試題分析:

1)由題意易得:∠AOB=60°,∠AOP=∠A′OP=2∠POB,由此可得∠AOP+∠POB=3∠POB=60°,這樣解得∠POB=20°,即可得到∠AOP=40°;

2當(dāng)射線OB在∠A′OP的內(nèi)部時(shí),如圖1,設(shè)∠A′OB= AOM=,AON=,AOA′= ,由此可得AOP=A′OP=,AOM+AOP=MOP=90°可得,解得,由此即可求得∠AON和∠AOP,從而可求得它們的比值;

當(dāng)射線OB在∠AON的內(nèi)部時(shí),如圖2,設(shè)∠A′OB= ,AOM=,AON=AOA′= ,由此可得AOP=A′OP=,AOM+AOP=MOP=90°可得,解得,由此即可求得∠AON和∠AOP,從而可求得它們的比值;

3如圖3,當(dāng)∠A′OB=150°時(shí),易得∠A′OA=150°-60°=90°,結(jié)合∠AOP=∠A′OP可得∠AOP=45°從而可得∠BOP=60°+45°=105°;如圖4,當(dāng)∠A′OB=150°時(shí),易得∠A′OA=360°-150°-60°=150°,結(jié)合∠AOP=∠A′OP可得∠AOP=75°從而可得∠BOP=60°+75°=135°;

試題解析:

1由題意可得:∠AOB=60°,∠AOP=∠A′OP,

∵OB平分∠A′OP,

∠A′OP=2∠POB,

∠AOP=∠A′OP=2∠POB,

∴∠AOB=∠AOP+∠POB=3∠POB=60°,

∴∠POB=20°,

∴∠AOP=2∠POB=40°;

(2)①當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)A在射線OP的左側(cè),且射線OB在在∠A′OP的內(nèi)部時(shí),如圖1

設(shè)A′OB=x,AOM=3A′OB=3x,AOA′= ,

∵OP⊥MN,

∴∠AON=180°-3,∠AOP=90°-3x

,

∵∠AOP=A′OP

∴∠AOP=A′OP=

,解得:

②當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到使A在射線OP的左側(cè),但是射線OB在∠A′ON內(nèi)部時(shí),如圖2,

設(shè)∠A′OB=x,則∠AOM=3x,AON=,AOA′= ,

∵∠AOP=A′OP,

∴∠AOP=A′OP=

OP⊥MN,

∴∠AOP=90-∠AOM=90-3x,

,解得 ,

3如圖3,當(dāng)∠A′OB=150°時(shí),

由圖可得:∠A′OA=∠A′OB-∠AOB=150°-60°=90°,

∵∠AOP=∠A′OP,

∠AOP=45°,

∠BOP=60°+45°=105°

如圖4,當(dāng)∠A′OB=150°時(shí),由圖可得∠A′OA=360°-150°-60°=150°

∵∠AOP=∠A′OP,

∠AOP=75°

∴∠BOP=60°+75°=135°;

綜上所述∠BOP的度數(shù)為105°或135°.

練習(xí)冊系列答案
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(1)請根據(jù)上述兩位隊(duì)長的交談,求出七(1)班的學(xué)生人數(shù);

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方式一一套服裝一天收取20元,另收總計(jì)80元的服裝清洗費(fèi);

方式二:在一套服裝一天收取20元的基礎(chǔ)上九折,一套服裝每天收取服裝清洗費(fèi)1元,另收每套服裝磨損費(fèi)5元(不按天計(jì)算);

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1)在政府未出臺(tái)補(bǔ)貼措施前,該商場銷售彩電的總收益額為多少元?

2)在政府補(bǔ)貼政策實(shí)施后,分別求出該商場銷售彩電臺(tái)數(shù)y和每臺(tái)家電的收益z與政府補(bǔ)貼款額x之間的函數(shù)關(guān)系式;

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