Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為等邊三角形，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)為軸上位于點(diǎn)上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊向的右側(cè)作等邊，連接，并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn).

(1)求證：；

(2)當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否平分？請(qǐng)說明理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）平分，理由見解析（3）存在，Q（0，3），（0，1）．

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出OP＝AP，BP＝PC，∠APO＝∠CPB＝60°，求出∠OPB＝∠APC，證出△PBO≌△PCA即可；

（2）由（1）知∠POB＝∠PAC＝60゜，得到∠PAC＝∠OAP＝60゜，即可得到平分;

(3)①當(dāng)AQ＝AE＝2時(shí)，△AEQ為等腰三角形，點(diǎn)Q在y軸的正半軸上，求得OQ＝AE＋AO＝3，②當(dāng)AQ＝AE＝2時(shí)，△AEQ為等腰三角形，點(diǎn)Q在y軸的負(fù)半軸上，求得OQ＝AQAO＝1，③當(dāng)EQ＝AE＝2時(shí)，△AEQ為等腰三角形，x軸是AQ的垂直平分線，求得OQ＝AO＝1，即可得到結(jié)論．

（1）證明：∵△BPC和△AOP是等邊三角形，

∴OP＝AP，BP＝PC，∠APO＝∠CPB＝60°，

∴∠APO＋∠APB＝∠BPC＋∠APB，

即∠OPB＝∠APC，

在△PBO和△PCA中，

，

∴△PBO≌△PCA （SAS）

∴OB＝AC．

（2）平分，理由如下：

由（1）知∠POB＝∠PAC＝60゜，

∴∠PAC＝∠OAP＝60゜，

∴平分;

（3）解：存在，

∵AE＝2AO＝2，

∴①當(dāng)AQ＝AE＝2時(shí)，△AEQ為等腰三角形，點(diǎn)Q在y軸的正半軸上，

∴OQ＝AE＋AO＝3，

∴Q（0，3），

②當(dāng)AQ＝AE＝2時(shí)，△AEQ為等腰三角形，點(diǎn)Q在y軸的負(fù)半軸上，

∴OQ＝AQAO＝1，

∴Q（0，1），

③當(dāng)EQ＝AE＝2時(shí)，△AEQ為等腰三角形，x軸是AQ的垂直平分線，

∴OQ＝AO＝1，

∴Q（0，1）．

綜上所述：在y軸上存在點(diǎn)Q，使得△AEQ為等腰三角形，Q（0，3），（0，1）．