Question

如下圖，在等腰ΔABC中，CH是底邊上的高線，點(diǎn)P是線段CH上不與端點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，連結(jié)AP交BC于點(diǎn)E，連結(jié)BP交AC于點(diǎn)F。

（1）證明：∠CAE=∠CBF；

（2）證明：AE=BF；

（3）以線段AE，BF和AB為邊構(gòu)成一個(gè)新的三角形ABG（點(diǎn)E與點(diǎn)F重合于點(diǎn)G），記ΔABC和ΔABG的面積分別為S_ΔABC和S_ΔABG，如果存在點(diǎn)P，能使S_ΔABC=S_ΔABG，求∠C的取值范圍。

Answer 1

證明：(1) ∵△是等腰△，是底邊上的高線，∴，

又∵, ∴△ ≌△，

∴, 即;       

(2) ∵, ，,

∴△ ≌△，∴;         

(3) 由(2)知△是以為底邊的等腰△，∴ 等價(jià)于，

1）當(dāng)∠為直角或鈍角時(shí)，在△中，不論點(diǎn)在何處，均有，所以結(jié)論不成立;

2）當(dāng)∠為銳角時(shí)， ∠，而，要使，只需使∠ =∠，此時(shí)，∠180°2∠，

只須180°2∠∠，解得 60°∠ 90°.