【題目】如圖1,把一張長方形的紙片ABCD沿對角線BD折疊,點C落在E處,BEAD于點F.

1)求證:FB=FD;

2)如圖2,連接AE,求證:AE∥BD;

3)如圖3,延長BA,DE相交于點G,連接GF并延長交BD于點H,求證:GH垂直平分BD

【答案】1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)證明見解析.

【解析】

試題(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得:ABDC=DE,∠BAD∠BCD∠BED=90°,根據(jù)AAS可證△ABF≌△EDF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證BF=DF;

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證:FA=FE,根據(jù)等邊對等角可得:∠FAE=∠FEA,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可證:2∠AEF ∠AFE =2∠FBD∠BFD =180°,所以可證∠AEF=∠FBD,根據(jù)內(nèi)錯角相等,兩直線平行可證AE∥BD

(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)可證:AD=BC=BE,AB=CD=DEBD=DB,根據(jù)SSS可證:△ABD≌△EDB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證:∠ABD=∠EDB,根據(jù)等角對等邊可證:GB=GD,根據(jù)HL可證:△AFG≌△EFG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證:∠AGF=∠EGF,所以GH垂直平分BD.

試題解析:(1長方形ABCD,

∴ABDC=DE,∠BAD∠BCD∠BED=90°,

△ABF△DEF中,

∴△ABF≌△EDFAAS),

∴BF=DF.

2∵△ABF≌△EDF,

∴FA=FE

∴∠FAE=∠FEA,

∵∠AFE=∠BFD,且2∠AEF ∠AFE =2∠FBD∠BFD =180°,

∴∠AEF=∠FBD,

∴AE∥BD

3長方形ABCD,

∴AD=BC=BE,AB=CD=DE,BD=DB,

∴△ABD≌△EDBSSS),

∴∠ABD=∠EDB

∴GB=GD,

△AFG△EFG中,

∠GAF∠GEF=90°,

FA=FE,

FGFG,

∴△AFG≌△EFGHL),

∴∠AGF=∠EGF,

∴GH垂直平分BD.

【方法II

1∵△BCD≌△BED,

∴∠DBC∠EBD

長方形ABCD

∴AD∥BC,

∴∠ADB∠DBC,

∴∠EBD∠ADB,

∴FB=FD.

2長方形ABCD,

∴AD=BC=BE,

∵FB=FD

∴FA=FE,

∴∠FAE=∠FEA

∵∠AFE=∠BFD,且2∠AEF ∠AFE =2∠FBD∠BFD =180°

∴∠AEF=∠FBD,

∴AE∥BD

3長方形ABCD,

∴AD=BC=BE,AB=CD=DE,BD=DB,

∴△ABD≌△EDB,

∴∠ABD=∠EDB,

∴GB=GD,

∵FB=FD,

∴GFBD的垂直平分線,

GH垂直平分BD.

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