Question

【題目】觀察下列等式：

12×231=132×21，

13×341=143×31，

23×352=253×32，

34×473=374×43，

62×286=682×26，

…

以上每個(gè)等式中兩邊數(shù)字是分別對(duì)稱的，且每個(gè)等式中組成兩位數(shù)與三位數(shù)的數(shù)字之間具有相同規(guī)律，我們稱這類等式為“數(shù)字對(duì)稱等式”．

（1）根據(jù)上述各式反映的規(guī)律填空，使式子稱為“數(shù)字對(duì)稱等式”：

①52×　 　=　 　×25；

②　　×396=693×　　．

（2）設(shè)這類等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，且2≤a+b≤9，寫(xiě)出表示“數(shù)字對(duì)稱等式”一般規(guī)律的式子（含a、b），并證明．

Answer 1

【答案】解：（1）①275；572。

②63；36。

（2）“數(shù)字對(duì)稱等式”一般規(guī)律的式子為：

（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）。證明如下：

∵左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，

∴左邊的兩位數(shù)是10a+b，三位數(shù)是100b+10（a+b）+a，

右邊的兩位數(shù)是10b+a，三位數(shù)是100a+10（a+b）+b，

∴左邊=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=（10a+b）（100b+10a+10b+a）

=（10a+b）（110b+11a）=11（10a+b）（10b+a），

右邊=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）=（100a+10a+10b+b）（10b+a）

=（110a+11b）（10b+a）=11（10a+b）（10b+a），

∴左邊=右邊。

∴“數(shù)字對(duì)稱等式”一般規(guī)律的式子為：

（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）。

【解析】分類歸納（數(shù)字的變化類），代數(shù)式的計(jì)算和證明。

①∵5+2=7，∴左邊的三位數(shù)是275，右邊的三位數(shù)是572。∴52×275=572×25。

②∵左邊的三位數(shù)是396，∴左邊的兩位數(shù)是63，右邊的兩位數(shù)是36。∴63×369=693×36。

（2）按照（1）中對(duì)稱等式的方法寫(xiě)出，然后利用多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行證明即可。