【題目】如圖,△ABC中,點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E,交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F.
(1)求證:OE=OF;
(2)若CE=8,CF=6,求OC的長;
(3)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形AECF是矩形?
并說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)5;(3)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形.證明見解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠2,∠3=∠4,進(jìn)而得出答案;(2)根據(jù)已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°,進(jìn)而利用勾股定理求出EF的長,即可得出CO的長;(3)根據(jù)平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可.
試題解析:(1)證明:∵MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E,交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F,
∴∠2=∠5,∠4=∠6,
∵MN∥BC,
∴∠1=∠5,∠3=∠6,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴EO=CO,FO=CO,
∴OE=OF;
(2)∵∠2=∠5,∠4=∠6,
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°,
∵CE=8,CF=6,
∴EF==10,
∴OC=EF=5;
(3)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形.
證明:當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí),AO=CO,
∵EO=FO,
∴四邊形AECF是平行四邊形,
∵∠ECF=90°,
∴平行四邊形AECF是矩形.
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