【題目】如圖,拋物線yax2+bx+c經(jīng)過A03)、B(﹣1,0)、D23),拋物線與x軸的另一交點為E,點P為直線AE上方拋物線上一動點,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t

1)求拋物線的表達(dá)式;

2)當(dāng)t為何值時,△PAE的面積最大?并求出最大面積;

3)是否存在點P使△PAE為直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.

【答案】1y=﹣x2+2x+3;(2t時,△PAE的面積最大,最大值是;(3t的值為1

【解析】

1)由AB、C三點的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;

2)由拋物線的對稱性可求得E點坐標(biāo),從而可求得直線EA的解析式,作PMy軸,交直線AE于點M,則可用t表示出PM的長,從而可表示出△PAE的面積,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值即可;

3)由題意可知有∠PAE90°∠APE90°兩種情況,當(dāng)∠PAE90°時,作PG⊥y軸,利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程,可求得t的值;當(dāng)∠APE90°時,作PK⊥x軸,AQ⊥PK,則可證得△PKE∽△AQP,利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程,可求得t的值.

解:(1)由題意得:,

解得:,

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;

2)∵A0,3),D23),

∴拋物線對稱軸為x1,

E3,0),

設(shè)直線AE的解析式為ykx+3,

3k+30,解得,k=﹣1,

∴直線AE的解析式為y=﹣x+3,

如圖1,作PMy軸,交直線AE于點M,設(shè)Pt,﹣t2+2t+3),Mt,﹣t+3),

PM=﹣t2+2t+3+t3=﹣t2+3t,

t時,△PAE的面積最大,最大值是

3)由圖可知∠PEA90°

∴只能有∠PAE90°或∠APE90°,

當(dāng)∠PAE90°時,如圖2,作PG⊥y軸,

OAOE

∴∠OAE=∠OEA45°

∴∠PAG=∠APG45°,

PGAG

∴t=﹣t2+2t+33,即﹣t2+t0,解得t1t0(舍去),

②當(dāng)∠APE90°時,如圖3,作PKx軸,AQPK,

PK=﹣t2+2t+3,AQtKE3t,PQ=﹣t2+2t+33=﹣t2+2t

∵∠APQ+KPE=∠APQ+PAQ90°

∴∠PAQ=∠KPE,且∠PKE=∠PQA,

∴△PKE∽△AQP

,

,

t2t10,解得:tt0(舍去),

綜上可知存在滿足條件的點Pt的值為1

練習(xí)冊系列答案
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(2)的長為π,求“回旋角”∠CPD的度數(shù);

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選項

A

B

C

D

E

后續(xù)措施

擴大宣傳力度

分類隔離病人

封閉小區(qū)

聘請專業(yè)物資

采取其他措施

選擇人次

25

85

15

35

已知平均每人恰好選擇了兩個選項,根據(jù)以上信息回答下列問題:

1)求參與本次問卷調(diào)查的居民人數(shù),并補全條形統(tǒng)計圖;

2)在扇形統(tǒng)計圖中,求E選項對應(yīng)圓心角α的度數(shù);

3)根據(jù)此次調(diào)查結(jié)果估計該地100萬居民當(dāng)中選擇D選項的人數(shù).

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