Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，E，F分別是AB，AD的中點(diǎn)，連接EF，EC，將△FAE繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°得到△FDM．

(1)補(bǔ)全圖形并證明：EF⊥AC；

(2)若∠B=60°，求△EMC的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）①按要求畫(huà)出圖形即可；②連接BD，由已知條件可知EF是△ABD的中位線，由此可得EF∥BD，由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，從而可得EF⊥AC；

（2）由已知條件易得△ABC是等邊三角形，結(jié)合點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)可得CE⊥AB，結(jié)合AB∥CD可得CE⊥MC，在Rt△BCE中由已知條件求得CE的長(zhǎng)，由已知易得AE=1，由此可得MD=1，從而可得CD的長(zhǎng)，這樣即可由S△CME=MC·CE求出其面積了.

（1）①補(bǔ)全圖形如下圖所示：

②如下圖，連接DB，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴DB⊥AC，

∵E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，

∴EF∥BD.

∴EF⊥AC.

（2）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC.

∵∠B=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∵E是AB的中點(diǎn)，

∴CE⊥AB，CE⊥MC.

即△EMC是直角三角形，且CE=BC×sin60°=.

由（1）得MD=AE=AB=1.

∴MC=MD+DC=3.

∴S△EMC=MC×CE=.