【題目】給出如下定義:對于⊙O的弦MN和⊙O外一點P(M,O,N三點不共線,且點P,O在直線MN的異側),當∠MPN+∠MON=180°時,則稱點P是線段MN關于點O的關聯(lián)點.圖1是點P為線段MN關于點O的關聯(lián)點的示意圖.
在平面直角坐標系xOy中,⊙O的半徑為1.
(1)如圖2,已知M(,),N(,﹣),在A(1,0),B(1,1),C(,0)三點中,是線段MN關于點O的關聯(lián)點的是 ;
(2)如圖3,M(0,1),N(,﹣),點D是線段MN關于點O的關聯(lián)點.
①∠MDN的大小為 ;
②在第一象限內有一點E(m,m),點E是線段MN關于點O的關聯(lián)點,判斷△MNE的形狀,并直接寫出點E的坐標;
③點F在直線y=﹣x+2上,當∠MFN≥∠MDN時,求點F的橫坐標x的取值范圍.
【答案】(1)C;(2)①60;②E(,1);③點F的橫坐標x的取值范圍≤xF≤.
【解析】
(1)由題意線段MN關于點O的關聯(lián)點的是以線段MN的中點為圓心,為半徑的圓上,所以點C滿足條件;
(2)①如圖3-1中,作NH⊥x軸于H.求出∠MON的大小即可解決問題;
②如圖3-2中,結論:△MNE是等邊三角形.由∠MON+∠MEN=180°,推出M、O、N、E四點共圓,可得∠MNE=∠MOE=60°,由此即可解決問題;
③如圖3-3中,由②可知,△MNE是等邊三角形,作△MNE的外接圓⊙O′,首先證明點E在直線y=-x+2上,設直線交⊙O′于E、F,可得F(,),觀察圖形即可解決問題;
(1)由題意線段MN關于點O的關聯(lián)點的是以線段MN的中點為圓心,為半徑的圓上,所以點C滿足條件,
故答案為C.
(2)①如圖3-1中,作NH⊥x軸于H.
∵N(,-),
∴tan∠NOH=,
∴∠NOH=30°,
∠MON=90°+30°=120°,
∵點D是線段MN關于點O的關聯(lián)點,
∴∠MDN+∠MON=180°,
∴∠MDN=60°.
故答案為60°.
②如圖3-2中,結論:△MNE是等邊三角形.
理由:作EK⊥x軸于K.
∵E(,1),
∴tan∠EOK=,
∴∠EOK=30°,
∴∠MOE=60°,
∵∠MON+∠MEN=180°,
∴M、O、N、E四點共圓,
∴∠MNE=∠MOE=60°,
∵∠MEN=60°,
∴∠MEN=∠MNE=∠NME=60°,
∴△MNE是等邊三角形.
③如圖3-3中,由②可知,△MNE是等邊三角形,作△MNE的外接圓⊙O′,
易知E(,1),
∴點E在直線y=-x+2上,設直線交⊙O′于E、F,可得F(,),
觀察圖象可知滿足條件的點F的橫坐標x的取值范圍≤xF≤.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某數學小組在數學課外活動中,研究三角形和正方形的性質時,做了如下探究:
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與B,C重合),
以AD為邊在AD右側作正方形ADEF,連接CF.
(1).如圖1,當點D在線段BC上時,
①.BC與CF的位置關系為:________________________________.
②.BC,CD,CF之間的數量關系為:_______________________________.
(2).如圖2,當點D在線段CB的延長線上時,結論①,②是否仍然成立?若成立,
請給予證明;若不成立,請你寫出正確結論再給予證明.
(3).如圖3,將圖2中的 AB=AC改變成AB=kAC,正方形ADEF改成矩形ADEF,且AD=kAF,其它條件不變 ,猜想線段BD與CF之間的關系,說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖1、圖2、圖3、…、圖n分別是⊙O的內接正三角形ABC,正四邊形ABCD、正五邊形ABCDE、…、正n邊形ABCD…,點M、N分別從點B、C開始以相同的速度在⊙O上逆時針運動。
(1)求圖1中∠APN的度數;
(2)圖2中,∠APN的度數是_______,圖3中∠APN的度數是________。
(3)試探索∠APN的度數與正多邊形邊數n的關系(直接寫答案)
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,點E,F分別為OB,OD的中點,延長AE至G,使EG=AE,連接CG.
(1)求證:△ABE≌△CDF;
(2)當AB與AC滿足什么數量關系時,四邊形EGCF是矩形?請說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】為了解某區(qū)初二年級數學學科期末質量監(jiān)控情況,進行了抽樣調查,過程如下,請將有關問題補充完整.
收集數據:隨機抽取甲乙兩所學校的20名學生的數學成績進行分析:
甲 | 91 | 89 | 77 | 86 | 71 | 31 | 97 | 93 | 72 | 91 |
81 | 92 | 85 | 85 | 95 | 88 | 88 | 90 | 44 | 91 | |
乙 | 84 | 93 | 66 | 69 | 76 | 87 | 77 | 82 | 85 | 88 |
90 | 88 | 67 | 88 | 91 | 96 | 68 | 97 | 59 | 88 |
整理、描述數據:按如下數據段整理、描述這兩組數據
分段 學校 | 30≤x≤39 | 40≤x≤49 | 50≤x≤59 | 60≤x≤69 | 70≤x≤79 | 80≤x≤89 | 90≤x≤100 |
甲 | 1 | 1 | 0 | 0 | 3 | 7 | 8 |
乙 |
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分析數據:兩組數據的平均數、中位數、眾數、方差如下表:
統(tǒng)計量 學校 | 平均數 | 中位數 | 眾數 | 方差 |
甲 | 81.85 | 88 | 91 | 268.43 |
乙 | 81.95 | 86 | m | 115.25 |
經統(tǒng)計,表格中m的值是 .
得出結論:
a若甲學校有400名初二學生,估計這次考試成績80分以上人數為 .
b可以推斷出 學校學生的數學水平較高,理由為 .(至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性)
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙、丁四名同學進行一次乒乓球單打比賽,要從中選兩位同學打第一場比賽.
(1)若由甲挑一名選手打第一場比賽,選中乙的概率是 ;
(2)任選兩名同學打第一場,求恰好選中甲、乙兩位同學的概率.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知直線y=kx+b與直線y=2x+1平行,且過點(1,﹣3).
(1)求這個一次函數的關系式?
(2)畫出函數圖象.
(3)該函數圖象與兩個坐標軸圍成的三角形的面積?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線分別交軸于A、C,點P是該直線與反比例函數在第一象限內的一個交點,PB⊥軸于B,且S△ABP=9.
(1)求證:△AOC∽△ABP;
(2)求點P的坐標;
(3)設點R與點P在同一個反比例函數的圖象上,且點R在直線PB的右側,作RT⊥軸于T,當△BRT與△AOC相似時,求點R的坐標.
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