【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣4(a≠0)與x軸交于A(2,0)、B(﹣4,0)兩點,與y軸交于點C,矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上,頂點F,G分別在線段BC、AC上.
(I)求拋物線的解析式;
(II)若點D的坐標為(m,0),矩形DEFG的面積為S,求S與m的函數(shù)關系式,并指出m的取值范圍;
(III)當矩形DEFG的面積S取最大值時,連接DF并延長至點M,使FM=kDF.若點M在拋物線上,求k的值.
【答案】(I)y=x2+x﹣4;(II)S矩形DEFG=12m﹣6m2(0<m<2);(III)點M在拋物線上,此時k的值是:k=.
【解析】
(I)用待定系數(shù)法,將A、B的坐標代入y=ax2+bx﹣4,即可得到拋物線的解析式;
(II)表示出矩形的長和寬是解題的關鍵,由△ADG∽△AOC,從而=,得到DG=4-2m,由△BEF∽△BOC,從而=,得到DE=3m,因而得到S與m的函數(shù)關系式;
(III)當矩形的面積s取最大值時,就是函數(shù)的值是最大值時,根據(jù)二次函數(shù)的性質就可以求出相應的m的值,則矩形的四個頂點的坐標就可以求出,利用待定系數(shù)法就可以求出直線DF的解析式,便可求出直線DF與拋物線的交點M坐標,過M作x軸的垂線交x軸于H,有△OEF∽△OHM,則根據(jù)FM=kDF,即k==,便可求出k的值.
(I)∵拋物線y=ax2+bx﹣4(a≠0)與x軸交于A(2,0)、B(﹣4,0)兩點,
∴,
解得:,
故拋物線解析式為:y=x2+x﹣4;
(II)由題意,=,而AO=2,OC=4,AD=2﹣m,
故DG=4﹣2m,
又=,EF=DG,得BE=4﹣2m,
∴DE=3m,
∴S矩形DEFG=DGDE=(4﹣2m)3m=12m﹣6m2(0<m<2).
(III)∵S矩形DEFG=12m﹣6m2(0<m<2),
∴m=1時,矩形的面積最大,且最大面積是6.
當矩形面積最大時,其頂點為D(1,0),G(1,﹣2),F(xiàn)(﹣2,﹣2),E(﹣2,0),
設直線DF的解析式為y=kx+b,
則,
解得;,
∴y=x﹣,
又拋物線P的解析式為:y=x2+x﹣4,
令x﹣=x2+x﹣4,可求出x=
設射線DF與拋物線P相交于點M,則M的橫坐標為,
過M作x軸的垂線交x軸于H,
有k====,
點M在拋物線上,此時k的值是:k=.
故答案為:(I)y=x2+x﹣4;(II)S矩形DEFG=12m﹣6m2(0<m<2);(III)點M在拋物線上,此時k的值是:k=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了方便孩子入學,小王家購買了一套學區(qū)房,交首付款15萬元,剩余部分向銀行貸款,貸款及貸款利息按月分期還款,每月還款數(shù)相同.計劃每月還款y萬元,x個月還清貸款,若y是x的反比例函數(shù),其圖象如圖所示:
(1)求y與x的函數(shù)解析式;
(2)若小王家計劃180個月(15年)還清貸款,則每月應還款多少萬元?
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【題目】如圖,等邊△ABC的邊長為12, D為AB邊上一動點,過點D作DE⊥BC于點E.過點E作EF⊥AC于點F.
(1)若AD=2,求AF的長;
(2)當AD取何值時,DE=EF?
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【題目】如圖,將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網格中,點A,點B,點C均落在格點上.
(1)計算△ABC的周長等于_____.
(2)點P、點Q(不與△ABC的頂點重合)分別為邊AB、BC上的動點,4PB=5QC,連接AQ、PC.當AQ⊥PC時,請在如圖所示的網格中,用無刻度的直尺,畫出線段AQ、PC,并簡要說明點P、Q的位置是如何找到的(不要求證明).
___________________________.
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【題目】如圖,學校的實驗樓對面是一幢教學樓,小敏在實驗樓的窗口C處測得教學樓頂部D處的仰角為18°,教學樓底部B處的俯角為20°,教學樓的高BD=21m,求實驗樓與教學樓之間的距離AB(結果保留整數(shù)).(參考數(shù)據(jù):tan18°≈0.32,tan20°≈0.36)
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象與正比例函數(shù)y=kx的圖象相交于點A(3,2),有下面四個結論:①ab>0;②a﹣b>﹣;③sinα=;④不等式kx≤ax2+bx的解集是0≤x≤3.其中正確的是( )
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④
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【題目】已知拋物線,其中.
(1)求證:為任意非零實數(shù)時,拋物線與軸總有兩個不同的交點;
(2)求拋物線與軸的兩個交點的坐標(用含的代數(shù)式表示);
(3)將拋物線沿軸正方向平移一個單位長度得到拋物線,則無論取任何非零實數(shù),都經過同一個定點,直接寫出這個定點的坐標.
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【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E.
(1)若∠BAC=50°,求∠EDA的度數(shù);
(2)求證:直線AD是線段CE的垂直平分線.
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