Question

【題目】如圖，已知⊙O的半徑為1，DE是⊙O的直徑，過點(diǎn)D作⊙O的切線AD，C是AD的中點(diǎn)，AE交⊙O于B點(diǎn)，四邊形BCOE是平行四邊形．

（1）求AD的長(zhǎng)；

（2）BC是⊙O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AD=2

（2）是，理由見解析

【解析】

（1）連接BD，由ED為圓O的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠DBE為直角，由BCOE為平行四邊形，得到BC與OE平行，且BC=OE=1，在直角三角形ABD中，C為AD的中點(diǎn)，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半求出AD的長(zhǎng)即可。

（2）連接OB，由BC與OD平行，BC=OD，得到四邊形BCDO為平行四邊形，由AD為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到OD垂直于AD，可得出四邊形BCDO為矩形，利用矩形的性質(zhì)得到OB垂直于BC，即可得出BC為圓O的切線。

解：（1）連接BD，則∠DBE=90°，

∵四邊形BCOE為平行四邊形，

∴BC∥OE，BC=OE=1。

在Rt△ABD中，C為AD的中點(diǎn)，

∴BC=AD=1。∴AD=2。

（2）BC為⊙O的切線。證明如下：連接OB，

∵BC∥OD，BC=OD，∴四邊形BCDO為平行四邊形。

∵AD為⊙O的切線，∴OD⊥AD。

∴四邊形BCDO為矩形。∴OB⊥BC。

∵OB是⊙O的半徑，∴BC為⊙O的切線。