【題目】如圖,BD是正方形ABCD的對角線,BC=2,邊BC在其所在的直線上平移,將通過平移得到的線段記為PQ,連接PA、QD,并過點(diǎn)Q作QOBD,垂足為O,連接OA、OP.

(1)請直接寫出線段BC在平移過程中,四邊形APQD是什么四邊形?

(2)請判斷OA、OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并加以證明;

(3)在平移變換過程中,設(shè)y=SOPB,BP=x(0x2),求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出y的最大值.

【答案】(1)四邊形APQD為平行四邊形;(2)OA=OP,OAOP;(3)當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時, y=當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時, y=;當(dāng)x=2時,y有最大值為2.

【解析】

試題分析:(1)四邊形APQD為平行四邊形;

(2)OA=OP,OAOP,理由如下:

四邊形ABCD是正方形,AB=BC=PQ,ABO=OBQ=45°,OQBD,∴∠PQO=45°,∴∠ABO=OBQ=PQO=45°,OB=OQ,在AOB和OPQ中,AB=PQ,ABO=PQO,BO=QO,∴△AOB≌△OPQ(SAS),OA=OP,AOB=PQO,∴∠AOP=BOQ=90°,OAOP;

(3)如圖,過O作OEBC于E.

①如圖1,當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時,則BQ=x+2,OE=,y=×x=,即,又0x2,當(dāng)x=2時,y有最大值為2;

②如圖2,當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時,則BQ=2﹣x,OE=,y=×x=,即,又0x2,當(dāng)x=1時,y有最大值為;

綜上所述,當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時, y=;當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時, y=;

當(dāng)x=2時,y有最大值為2;

練習(xí)冊系列答案
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(1)求證:△ABQ≌△CAP;
(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動時,∠QMC變化嗎?若變化,請說理由;若不變,求出它的度數(shù).
(3)如圖2,若點(diǎn)P、Q在分別運(yùn)動到點(diǎn)B和點(diǎn)C后,繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動,直線AQ、CP交點(diǎn)為M,則∠QMC=度.(直接填寫度數(shù))

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(2)已知∠P=40°,點(diǎn)Q在優(yōu)弧ABC上,從點(diǎn)A開始逆時針運(yùn)動到點(diǎn)C停止(點(diǎn)Q與點(diǎn)C不重合),當(dāng)△ABQ與△ABC的面積相等時,求動點(diǎn)Q所經(jīng)過的弧長.

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