【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線C1:y=ax2+bx﹣a2關(guān)于y軸對稱且有最小值﹣1.
(1)求拋物線C1的解析式;
(2)在圖1中拋物線C1頂點為A,將拋物線C1繞 點B旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C2,直線y=kx﹣2k+4總經(jīng)過一定點M,若過定點M的直線與拋物線C2只有一個公共點,求直線l的解析式.
(3)如圖2,先將拋物線 C1向上平移使其頂點在原點O,再將其頂點沿直線y=x平移得到拋物線C3,設(shè)拋物線C3與直線y=x交于C、D兩點,求線段CD的長.
【答案】(1)y=x2﹣1(2)過定點M,共有三條直線l:x=2 或y=2x+4﹣4或y=﹣2x+4+4,它們分別與拋物線C3只有一個公共點(3)
【解析】試題分析: 根據(jù)拋物線的對稱軸為軸,求得拋物線有最小值,可求得,即可求出拋物線的解析式.
依題意可求出拋物線的解析式為: 由直線總經(jīng)過一定點M,可求得定點M為,①經(jīng)過定點與軸平行的直線: 與拋物線總有一個公共點.②經(jīng)過定點的直線為一次函數(shù)時,與聯(lián)立方程組,利用可得得 的值,即可得出 或,綜上所述,過定點M,共有三條直線它們分別與拋物線只有一個公共點.
設(shè)拋物線的頂點為,依題意可得拋物線的解析式為: 與直線聯(lián)立,可得的坐標(biāo),過點C作∥軸,過點D作DM∥y軸,可求出 即可得出的值.
試題解析:(1)拋物線的對稱軸為軸,
解得
拋物線的解析式為
當(dāng)拋物線有最小值,即 解得: 或(舍去).
拋物線的解析式
(2)拋物線的解析式
設(shè)拋物線與x軸的令一個交點為.
令得: 解得:
將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)后得到拋物線,
∴點對應(yīng)點的坐標(biāo)為,點對應(yīng)點的坐標(biāo)為.
設(shè)的解析式為將代入得: 解得
的解析式為
直線總經(jīng)過一定點M,
∴定點M為,
①經(jīng)過定點與軸平行的直線: 與拋物線總有一個公共點.
②將與聯(lián)立得: 整理得:
∵過定點M的直線與拋物線只有一個公共點,
解得
∴過定點M的直線的解析式為 或,
綜上所述,過定點M,共有三條直線l: 或 或,它們分別與拋物線只有一個公共點.
(3)以平移后拋物線的頂點為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系,則直線和拋物線在新坐標(biāo)系的解析式為 與
將與聯(lián)立,解得: 或
∴點和點在新坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)分別為
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點A(﹣1,0),與y軸的交點B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之間(不包括這兩點),對稱軸為直線x=1,(1)abc>0;(2)4a+2b+c>0;(3)4ac﹣b2<16a;(4)<a<;(5)b<c,其中正確的結(jié)論有( 。
A. (2)(3)(4)(5) B. (1)(3)(4)(5) C. (1)(3)(4) D. (1)(2)(5)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AD=,F是DA延長線上一點,G是CF上一點,且∠ACG=∠AGC,∠GAF=∠F=20°,則AB= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB與CD相交于點O,OP是∠BOC的平分線,OE⊥AB,OF⊥CD.
(1)圖中除直角外,還有相等的角嗎?請寫出兩對;
(2)如果∠AOD=50°,求∠DOP的度數(shù).
(3)OP平分∠EOF嗎?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
小明通過試驗發(fā)現(xiàn);將一個矩形可以分別成四個全等的矩形,三個全等的矩形,二個全等的矩形(如上圖),于是他對含的直角三角形進(jìn)行分別研究,發(fā)現(xiàn)可以分割成四個全等的三角形,三個全等的三角形.
(1)請你在圖1,圖2依次畫出分割線,并簡要說明畫法;
(2)小明繼續(xù)想分割成兩個全等的三角形,發(fā)現(xiàn)比較困難.你能把這個直角三角形分割成兩個全等的三角形嗎?若能,畫出分割線;若不能,請說明理由.(注:備用圖不夠用可以另外畫)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,ABCD的周長為36,對角線AC、BD相交于點O,點E是CD的中點,BD=12,則△DOE的周長為( 。
A. 15 B. 18 C. 21 D. 24
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是AB邊的中點,沿EC對折矩形ABCD,使B點落在點P處,折痕為EC,連結(jié)AP并延長AP交CD于F點,連結(jié)CP并延長CP交AD于Q點.給出以下結(jié)論:
①四邊形AECF為平行四邊形;
②∠PBA=∠APQ;
③△FPC為等腰三角形;
④△APB≌△EPC.
其中正確結(jié)論的個數(shù)為( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點A(6,0),B(8,5),將線段OA平移至CB,點D(x,0)在x軸正半軸上(不與點A重合),連接OC,AB,CD,BD.
(1)求對角線AC的長;
(2)△ODC與△ABD的面積分別記為S1,S2,設(shè)S=S1﹣S2,求S關(guān)于x的函數(shù)解析式,并探究是否存在點D使S與△DBC的面積相等,如果存在,請求出x的值(或取值范圍);如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程總有兩個不相等的實數(shù)根.
(1)求m的取值范圍;
(2)若此方程的兩根均為正整數(shù),求正整數(shù)m的值.
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