Question

如圖，直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，第一象限內(nèi)的點(diǎn)P（a，b）是經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線n上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥y軸于點(diǎn)D，連結(jié)PA．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）若△ABO與△BDP全等，試求直線n的函數(shù)解析式；
（3）將△ABP沿直線m對(duì)折，點(diǎn)P恰好與點(diǎn)O重合，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）對(duì)于直線y=-x+3，令x=0，得到y(tǒng)=3；令y=0，得到x=4，
則A（4，0），B（0，3）；
（2）當(dāng)△BDP≌△AOB時(shí)，BD=AO=4，DP=BO=3，
∴OD=OB+BD=3+4=7，
∴P（3，7），
設(shè)直線n為y=kx+b，將B與P坐標(biāo)代入得：，
解得：，
此時(shí)直線n解析式為y=x+3；
當(dāng)△PDB≌△AOB時(shí)，BD=OB=3，PD=OA=4，
∴OB+BD=3+3=6，
∴P（4，6），
設(shè)直線n為y=mx+n，將B與P代入得：，
解得：，
此時(shí)直線n解析式為y=x+3；
（3）過(guò)O與P作直線OP，與AB交于點(diǎn)Q，
將△ABP沿直線m對(duì)折，點(diǎn)P恰好與點(diǎn)O重合時(shí)，△AOB≌△APB，
∴BO=BP，OA=PA，
∴直線AB垂直平分線段OP，
∵直線AB解析式為y=-x+3，斜率為-，
∴直線OP斜率為，即直線OP解析式為y=x，
聯(lián)立兩函數(shù)解析式得：，
解得：，
∴Q（，），
∵Q為線段OP的中點(diǎn)，
∴P（，）．
分析：（1）對(duì)于直線m，令x與y分別為0求出對(duì)應(yīng)y與x的值，即可確定出A與B的坐標(biāo)；
（2）分兩種情況考慮：當(dāng)△BDP≌△AOB時(shí)，BD=AO=4，DP=BO=3，由OB+BD求出OD的長(zhǎng)，得到P的坐標(biāo)，設(shè)直線n為y=kx+b，將B與P坐標(biāo)代入得到關(guān)于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，即可求出此時(shí)直線n解析式；當(dāng)△PDB≌△AOB時(shí)，BD=OB=3，PD=OA=4，由OB+BD求出OD的長(zhǎng)，求出P的坐標(biāo)，設(shè)直線n為y=mx+n，將B與P代入得到關(guān)于m與n的方程組，求出方程組的解得到m與n的值，即可確定出直線n的解析式；
（3）過(guò)O與P作直線OP，與AB交于點(diǎn)Q，將△ABP沿直線m對(duì)折，點(diǎn)P恰好與點(diǎn)O重合時(shí)，△AOB≌△APB，可得出BO=BP，OA=PA，進(jìn)而確定出AB垂直平分線段OP，由直線AB的斜率求出直線OP的斜率，求出直線OP的解析式，與直線AB解析式聯(lián)立求出Q的坐標(biāo)，由Q為線段OP的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩直線的交點(diǎn)，折疊的性質(zhì)，以及線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，是一道中檔題．