Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，⊙C的圓心坐標為（-2，-2），半徑為．函數(shù)y=-x+2圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，點P為線段AB上一動點（包括端點）．
（1）連接CO，求證：CO⊥AB；
（2）若△POA是等腰三角形，求點P的坐標；
（3）當直線PO與⊙C相切時，求∠POA的度數(shù)；
（4）當直線PO與⊙C相交時，設交點為E、F，點M為線段EF的中點，令PO=t，MO=s，求s與t之間的函數(shù)關系，并寫出t的取值范圍；設點M為線段EF的中點，試寫出點M的運動軌跡，并直接寫出點M運動軌跡的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用一次函數(shù)與坐標軸交點求法得出A，B坐標，進而得出∠COG=45°，∠AOD=45°，即可得出答案；
（2）利用①當OP=OA時，②當OP=PA時，③當AP=AO時分別得出P點坐標；
（2）利用切線的性質以及點的坐標性質得出∠POA的度數(shù)；
（4）根據已知得出△COM∽△POD，進而得出MO•PO=CO•DO，即可得出s與t的關系，進而求出t的取值范圍，再利用點M的運動軌跡是以點Q為圓心（Q點為OC與⊙C的交點），為半徑的一段圓弧，得出答案即可．
解答：解：（1）延長CO交AB于D，過點C作CG⊥x軸于點G．
∵函數(shù)y=-x+2圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴x=0時，y=2，y=0時，x=2，
∴A（2，0），B（0，2），
∴AO=BO=2．
又∵∠AOB=90°，
∴∠DAO=45°．
∵C（-2，-2），
∴∠COG=45°，∠AOD=45°，
∴∠ODA=90°．
∴OD⊥AB，即CO⊥AB；

（2）要使△POA為等腰三角形．
①當OP=OA時，P的坐標為（0，2），
②當OP=PA時，由∠OAB=45°，所以點P恰好是AB的中點，
所以點P的坐標為（1，1），
③當AP=AO時，則AP=2，
過點作PH⊥OA交OA于點H，
在Rt△APH中，則PH=AH=，
∴OH=2-，
∴點P的坐標為（2-，）；

（3）如圖2，當直線PO與⊙C相切時，設切點為K，連接CK，
則CK⊥OK．由點C的坐標為（-2，-2），
可得：CO=．
∵sin∠COK===，
∴∠POD=30°，又∠AOD=45°，
∴∠POA=75°，
同理可求得∠POA的另一個值為45°-30°=15°；

（4）∵M為EF的中點，
∴CM⊥EF，
又∵∠COM=∠POD，CO⊥AB，
∴△COM∽△POD，
所以，即MO•PO=CO•DO．
∵PO=t，MO=s，CO=，DO=，
∴st=4．
但PO過圓心C時，MO=CO=，PO=DO=，
即MO•PO=4，也滿足st=4．
∴s=，
∵OP最小值為，當直線PO與⊙C相切時，∠POD=30°，
∴PO==，
∴t的取值范圍是：≤t＜，
由（3）可得，點M的運動路線是以點Q為圓心（Q點為OC與⊙C的交點），為半徑的一段圓弧，
 可得⊙C和⊙Q是兩個等圓，可得∠GQK=120°
 弧GQK為實際運動路徑，弧長=．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質和切線的性質定理和弧長公式的應用等知識，利用數(shù)形結合分類討論思想得出是解題關鍵．