Question

【題目】如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為3cm的等邊三角形，點(diǎn)P，Q分別從頂點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，沿線段AB，BC運(yùn)動(dòng)，且它們的速度都為1cm/s.當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？

（2）連接AQ、CP，相交于點(diǎn)M，則點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ會(huì)變化嗎？若變化,請(qǐng)說明理由：若不變，請(qǐng)求出它的度數(shù).

Answer 1

【答案】(1)1秒或2秒;(2)見解析.

【解析】

（1）設(shè)時(shí)間為t，則AP=BQ=t，PB=3-t.分兩種情況討論：①∠PQB=90°；②∠BPQ=90°.逐一求解即可.

（2）先證明△ABQ≌△CAP，得到∠BAQ=∠ACP，于是可得∠CMQ=∠BAC=60°.

解：（1）設(shè)時(shí)間為t，則AP=BQ=t，PB=3-t

①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，

∵∠B=60°，

∴PB=2BQ，得3-t=2t，t=1；

②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，

∵∠B=60°，

∴BQ=2BP，得t=2（3-t），

∴t=2,

∴當(dāng)?shù)?/span>1秒或第2秒時(shí)，△PBQ為直角三角形.

（2）∠CMQ不會(huì)發(fā)生變化，∠CMO=60°.理由如下：

在△ABQ與△CAP中，

，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°.