Question

【題目】綜合與實踐

旋轉(zhuǎn)是圖形變化的方法之一，借助旋轉(zhuǎn)知識可以解決線段長、角的大小、取值范圍、判斷三角形形狀等問題，在實際生活中也有著十分重要的地位和作用.

問題背景

一塊等邊三角形建筑材料內(nèi)一點到三角形三個頂點的距離滿足一定條件時，我們可以用所學(xué)的知識幫助工人師傅在沒有刻度尺的情況下求出等邊三角形的邊長.

數(shù)學(xué)建模

如圖，等邊三角形內(nèi)有一點，已知，，.

問題解決

（1）如圖，將△ABP繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBP′，連接，易證∠BP′P=__°，△____為等邊三角形，____，___°.

（2）點H為直線BP′上的一個動點，則的最小值為______；

（3）求長；

拓展延伸

己知：點在正方形內(nèi)，點在平面內(nèi)，，.

（4）在圖中，連接PA、PC、PQ、QC，，若點、、在一條直線上，則____.

（5）若，連接，則____________；連接，當(dāng)、、三點在同一條直線上時，△BDQ的面積為______.

Answer 1

【答案】（1）60°，△BP′P，∠CP′P，150；（2）；（3）；（4）；（5），，

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BP=BP′，∠PBP′=60°，AP=P′C，∠APB=∠BP′C，即可求出∠BP′P=60°，即可得△BP′P是等邊三角形，根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠CP′P=90°，即可得∠CP′B的度數(shù)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得∠APB=∠CP′B，即可得∠APB的度數(shù)；（2）過C作CH⊥BP′，交BP′的延長線于H，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出CH的值即為最小值；（3）利用勾股定理可求出HP′的長，即可得BH的長，利用勾股定理求出BC的長進而可得答案；（4）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BPQ=∠BQP=45°，PQ=，根據(jù)兩銳角互余的關(guān)系可得∠CBQ=∠ABP，利用SAS可證明△ABP≌△CBQ，進而可得PA=CQ，∠BQC=∠BPA=135°，可得∠PQC=90°，利用勾股定理可求出PC的長，根據(jù)余弦的定義即可得答案；（5）連接BD，以B為圓心，1為半徑畫圓，交BD于P，交AB、BC于E、F，連接DF，則OP為最小值，根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理求出DP、DF的值即可；當(dāng)D、P、Q在同一條直線上時，過B作BM⊥DQ，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BM=QM=PQ，利用勾股定理可求出DM的長，進而可得DQ的長，利用三角形面積公式即可得答案.

（1）∵△ABP繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBP′，

∴BP=BP′=4，∠PBP′=60°，AP=P′C=2，∠APB=∠BP′C，

∴∠BP′P=60°，

∴△BP′P是等邊三角形，

∴PP′=BP=4，

∵PC2=(2)2=28，PP′2=42=16，P′C2=(2)2=12，

∴PC2= PP′2+ P′C2，

∴△PP′C是直角三角形，∠CP′P=90°，

∴∠BP′C=∠CP′P+∠BP′P=90°+60°=150°，

∴∠APB=∠BP′C=150°，

故答案為：60°，△BP′P，∠CP′P，150°

（2）過C作CH⊥BP′，交BP′的延長線于H，

∵∠BP′C=150°，

∴∠P′HC=180°-150°=30°，

∴CH=P′C=，

故答案為：

（3）∵CH=，P′C=PA=2，

∴P′H==3，

∴BC===2，

∴AB=BC=2.

（4）∵BP=BQ=1，BQ⊥BP，

∴∠BPQ=∠BQP=45°，PQ=，

∴∠APB=135°，

∵∠ABP+∠PBC=90°，∠CBQ+∠PBC=90°，

∴∠ABP=∠CBQ，

∵AB=BC，∠ABP=∠CBQ，BQ=BP，

∴△ABP≌△CBQ，

∴QC=AP=，∠BQC=∠APB=135°，

∴∠PQC=90°，

∴PC==，

∴cos∠PCQ===，

故答案為：

（5）如圖，連接BD，以B為圓心，1為半徑畫圓，交BD于P，交AB、BC于E、F，連接DF，

∵BP=1，

∴點P在以B為圓心，1為半徑的圓上，

∴DP為最小值，

∵AB=AD=2，

∴BD=2，

∴DP=BD-BP=2-1，

∵BF=1，CD=2，

∴DF=，

∵點P在正方形內(nèi)，

∴2-1≤DP<，

如圖，當(dāng)D、P、Q在同一條直線上時，過B作BM⊥DQ，

∵BQ=BP=1，BQ⊥BP，

∴BM=QM=PQ=，

∴DM==，

∴DQ=DM+QM=+=，

∴S△BDQ=××=，

故答案為：2-1，，