Question

【題目】問題：在1～n（n ≥2）這n個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)（不分順序），使得所取兩數(shù)之和大于n，共有多少種取法？

探究：不妨設(shè)有m種取法，為了探究m與n的關(guān)系，我們先從簡單情形入手，再逐次遞進(jìn)，最后猜想得出結(jié)論.

探究一：在1～2這2個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)（不分順序），使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于2，有多少種取法？

根據(jù)題意，有下列取法：1+2，共1種取法．

所以，當(dāng)n=2時(shí)，m=1.

探究二：在1～3這3個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)（不分順序），使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于3，有多少種取法？

根據(jù)題意，有下列取法：1+3，2+3，共2種取法．

所以，當(dāng)n=3時(shí)，m=2.

探究三：在1～4這4個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)（不分順序），使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于4，有多少種取法？

根據(jù)題意，有下列取法：1+4，2+4，3+4，2+3，共有3+1=4種取法．

所以，當(dāng)n=4時(shí)，m=3+1=4.

探究四：在1～5這5個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)（不分順序），使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于5，有多少種取法？

根據(jù)題意，有下列取法：1+5， 2+5， 3+5， 4+5，2+4，3+4，共有4+2=6種不同的取法．

所以，當(dāng)n=5時(shí)，m=4+2=6.

探究五：在1～6這6個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)（不分順序），使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于6，有多少種不同的取法？（仿照上述探究方法，寫出解答過程）

探究六：在1～7這7個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于7，共有 種取法？（直接寫出結(jié)果）

不妨繼續(xù)探究n=8,9，···時(shí)，m與n的關(guān)系.

結(jié)論：在1～n這n個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)字之和大于n，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，共有___種取法；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，共有___種取法；（只填最簡算式）

應(yīng)用：（1）各邊長都是自然數(shù)，最大邊長為11的不等邊三角形共有 個(gè)

（2）各邊長都是自然數(shù)，最大邊長為12的三角形共有 個(gè)

Answer 1

【答案】探究五：有9種不同的取法，解答過程見解析；

探究六：12；

結(jié)論：，；

應(yīng)用：（1）20；（2）42.

【解析】

探究五和探究六依照上述過程寫出即可；
結(jié)論：根據(jù)n＝2～7時(shí)，對應(yīng)m的值，總結(jié)規(guī)律即可；
應(yīng)用：（1）相當(dāng)于求出n＝10（偶數(shù)）時(shí)，對應(yīng)的m的值，再減去相加等于11的情況；
（2）分兩種情況計(jì)算：當(dāng)三角形是不等邊三角形時(shí)，按（1）同理得出有25個(gè)三角形；當(dāng)三角形是等腰三角形時(shí)，再分12為腰和12為底兩種情況討論求解．

探究五：根據(jù)題意，有下列取法：1+6，2+6，3+6，4+6，5+6；2+5，3+5，4+5；4+3共有5+3+1=9種取法，所以，當(dāng)n = 6時(shí)，m = 9；

探究六：根據(jù)題意，有下列取法：1+7，2+7，3+7，4+7，5+7，6+7；2+6，3+6，4+6，5+6；3+5，4+5；共有6+4+2=12種取法，所以，當(dāng)n = 7時(shí)，m = 12；

結(jié)論：根據(jù)n＝2～7時(shí)，對應(yīng)m的值，可得：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，共有種取法，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，共有種取法；

應(yīng)用：（1）∵最大邊長為11，

∴設(shè)另兩邊為a、b，a≠b≠11，

∴另兩邊長可能為：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，

∴a＋b＞10，共有：＝25（個(gè)），

∵a＋b＞11，

∴共有25－5＝20（個(gè)），

即各邊長都是自然數(shù)，最大邊長為11的不等邊三角形共有20個(gè)；

（2）最大邊長為12，設(shè)另兩邊為a、b，

當(dāng)三角形是不等邊三角形時(shí)，則另兩邊長可能為：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，

∴a＋b＞11，共有：（個(gè)），

∵a＋b＞12，

∴不等邊三角形共有：30－5＝25（個(gè)），

當(dāng)三角形是等腰三角形時(shí)，①底為12，腰長分別為11，10，9，8，7，一共5個(gè)，②腰為12，底為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共12個(gè)，

綜上所述，一共有25＋5＋12＝42（個(gè)）．