Question

25、如圖，已知AB=AC，∠A=36°，線段AB的中垂線MN交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)M，有下面3個(gè)結(jié)論：
①△BCD是等腰三角形；②△ABC∽△BDC；③點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)．
請(qǐng)你從以上結(jié)論中只選一個(gè)

③

加以證明．（友情提醒：證明①得8分，證明②得10分，證明③得12分）．

Answer 1

分析：由于MN是AB的中垂線，那么AD=BD，于是∠A=∠ABD=36°，利用三角形外角性質(zhì)可得∠BDC=2∠A=72°，而AB=AC，∠A=36°，易求∠ABC=∠ACB=72°，從而有∠BDC=∠ABC，∠C=∠C，可證△ABC∽△BDC，于是AB：BD=BC：DC，又BD=AD=BC，AB=AC，等量代換可得AD²=DC•AC．

解答：證明：如右圖所示，
∵M(jìn)N是AB的中垂線，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠BDC=2∠A=72°，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠BDC=∠ABC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴AB：BD=BC：DC，
又∵BD=AD=BC，AB=AC，
∴AD²=DC•AC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是求出∠BDC，并證明△ABC∽△BDC．