Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+b與雙曲線 交于A、B兩點(diǎn)，連接OA、OB，AM⊥y軸于點(diǎn)M，BN⊥x軸于點(diǎn)N，有以下結(jié)論：①S△AOM＝S△BON；②OA＝OB；③五邊形MABNO的面積；④若∠AOB＝45°，則S△AOB＝2k，⑤當(dāng)AB＝ 時(shí)，ON﹣BN＝1；其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（　　）

A. 5個(gè)B. 4個(gè)C. 3個(gè)D. 2個(gè)

Answer 1

【答案】B

【解析】

①②設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立y=-x+b與，得x2-bx+k=0，則x1x2=k，又x1y1=k，比較可知x2=y1，同理可得x1=y2，即ON=OM，AM=BN，可證結(jié)論；
③求出AB與x軸、y軸的交點(diǎn)，求出△OCD的面積，由此即可比較出S五邊形MABNO＜S△COD，即 ；
④作OH⊥AB，垂足為H，根據(jù)對(duì)稱性可證△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，可證S△AOB=k；
⑤延長(zhǎng)MA，NB交于G點(diǎn)，可證△ABG為等腰直角三角形，當(dāng)AB=時(shí)，GA=GB=1，則ON-BN=GN-BN=GB=1．

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），代入 中，得x1y1＝x2y2＝k，

聯(lián)立 ，得x2﹣bx+k＝0，

則x1x2＝k，又x1y1＝k，

∴x2＝y1，

同理x2y2＝k，

可得x1＝y2，

∴ON＝OM，AM＝BN，

∴①△AOM≌△BON，故本選項(xiàng)正確；

②由①可知，OA＝OB，故本選項(xiàng)正確；

③如圖1，

∵直線AB與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，b），（b，0），

∴S△COD＝bb＝b2，

由圖可知，S五邊形MABNO＜S△COD，即 ，故本選項(xiàng)正確．

④圖2，作OH⊥AB，垂足為H，

∵OA＝OB，∠AOB＝45°，

∵①△AOM≌△BON，故本選項(xiàng)正確；

∴∠MOA＝∠BON＝22.5°，

∠AOH＝∠BOH＝22.5°，

∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，

∴S△AOB＝S△AOH+S△BOH＝S△AOM+S△BON＝k+k＝k，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

⑤如圖3，延長(zhǎng)MA，NB交于G點(diǎn)，

∵NG＝OM＝ON＝MG，BN＝AM，

∴GB＝GA，

∴△ABG為等腰直角三角形，

當(dāng)AB＝時(shí)，GA＝GB＝1，

∴ON﹣BN＝GN﹣BN＝GB＝1，

∴當(dāng)AB＝時(shí)，ON﹣BN＝1，故本選項(xiàng)正確．

正確的結(jié)論①②③⑤．

故選：B．