Question

【題目】如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E是CD邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C 重合），以CE為邊在正方形ABCD的右側(cè)作正方形CEFG，連接BF、BD、FD．

（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，△BDF的面積為 ；當(dāng)點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)時(shí)，△BDF的面積為 ．

（2）當(dāng)E是CD邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合）時(shí)，猜想S△BDF與S正方形ABCD之間的關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）如圖2，設(shè)BF與CD相交于點(diǎn)H，若△DFH的面積為，求正方形CEFG的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）18，18；（2）S△BDF=S正方形ABCD，證明見(jiàn)解析；（3）4

【解析】

（1）根據(jù)三角形的面積公式求解；

（2）連接CF，通過(guò)證明BD∥CF，可得S△BDF=S△BDC=S正方形ABCD；

（3）根據(jù)S△BDF= S△BDC可得S△BCH= S△DFH=，由三角形面積公式可求CH，DH的長(zhǎng)，再由三角形面積公式求出EF的長(zhǎng)即可．

（1）∵當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，
∴CE=CD=6，
∵四邊形ABCD，四邊形CEFG是正方形，
∴DF=CE=AD=AB=6，
∴S△BDF=×DF×AB=18，

當(dāng)點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)時(shí)，如圖，連接CF，

∵四邊形ABCD和四邊形CEFG均為正方形；
∴∠CBD=∠GCF=45°，
∴BD∥CF，
∴S△BDF=S△BDC=S正方形ABCD=×6×6=18，

故答案為：18，18．

（2）S△BDF=S正方形ABCD，

證明：連接CF．

∵四邊形ABCD和四邊形CEFG均為正方形；

∴∠CBD=∠GCF=45°，

∴BD∥CF，

∴S△BDF= S△BDC=S正方形ABCD；

（3）由（2）知S△BDF= S△BDC，

∴S△BCH= S△DFH=，

∴，

∴，，

∴，

∴EF=4，

∴正方形CEFG的邊長(zhǎng)為4．