【題目】如圖,在四邊形ABCD中,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分別為E,F(xiàn),BE=DF,AE=CF.

(1)求證:△AFD≌△CEB;

(2)若∠CBE=∠BAC,四邊形ABCD是怎樣的四邊形?證明你的結(jié)論.

【答案】(1)證明見解析;(2)四邊形ABCD為矩形,理由見解析.

【解析】試題分析:(1)求出AF=CE,再利用“邊角邊”證明即可;

(2)根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD=BC,全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BCE=∠DAF,再根據(jù)內(nèi)錯角相等,兩直線平行證明AD∥BC,然后判斷出四邊形ABCD是平行四邊形,求出∠ABC=90°,最后根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明.

試題解析:(1)∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠AFD=∠CEB=90°.

∵AE=FC,∴AE+EF=FC+EF,∴AF=CE,

又∵BE=DF,∴△AFD≌△CEB;

(2)四邊形ABCD為矩形.

∵△AFD≌△CEB,∴AD=BC,∠BCE=∠DAF.∴AD∥BC,∴四邊形ABCD為平行四邊形,

∵∠CBE=∠BAC,又∵∠CBE+∠ACB=90°,∴∠BAC+∠ACB=90°,∴∠ABC=90°,

∴四邊形ABCD為矩形.

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