【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx2a≠0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),直線BD交拋物線于點(diǎn)D,并且D2,3),tanDBA=

1)求拋物線的解析式;

2)已知點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),且在第三象限,順次連接點(diǎn)B、MC、A,求四邊形BMCA面積的最大值;

3)在(2)中四邊形BMCA面積最大的條件下,過點(diǎn)M作直線平行于y軸,在這條直線上是否存在一個(gè)以Q點(diǎn)為圓心,OQ為半徑且與直線AC相切的圓?若存在,求出圓心Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】解:(1)如答圖1,過點(diǎn)DDE⊥x軸于點(diǎn)E,則DE=3,OE=2。

BE=6。

∴OB=BE﹣OE=4。∴B﹣4,0)。

點(diǎn)B﹣4,0)、D2,3)在拋物線y=ax2+bx﹣2a≠0)上,

,解得。

拋物線的解析式為:

2)在拋物線中,

x=0,得y=﹣2,∴C0﹣2)。

y=0,得x=﹣41,∴A1,0)。

設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(m,n)(m0,n0)。

如答圖1,過點(diǎn)MMF⊥x軸于點(diǎn)F,則MF=﹣nOF=﹣m,BF=4+m

點(diǎn)Mm,n)在拋物線上,,代入上式得:

,

當(dāng)m=﹣2時(shí),四邊形BMCA面積有最大值,最大值為9

3)假設(shè)存在這樣的⊙Q,

如答圖2所示,設(shè)直線x=﹣2x軸交于點(diǎn)G,與直線AC交于點(diǎn)F

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

A10)、C0﹣2)代入得:

,解得: 。

直線AC解析式為:y=2x﹣2。

x=﹣2,得y=﹣6,∴F﹣2,﹣6),GF=6。

Rt△AGF中,由勾股定理得:

。

設(shè)Q﹣2,q),則在Rt△AGF中,由勾股定理得:

。

設(shè)Q與直線AC相切于點(diǎn)E,則QE=OQ=。

Rt△AGFRt△QEF中,

∵∠AGF=∠QEF=90°,∠AFG=∠QFE,∴Rt△AGF∽R(shí)t△QEF。

,即。

化簡(jiǎn)得: ,解得q=4q=﹣1。

存在一個(gè)以Q點(diǎn)為圓心,OQ為半徑且與直線AC相切的圓,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣2,4)或(﹣2﹣1)。

【解析】(1)如答圖1所示,利用已知條件求出點(diǎn)B的坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。

2)如答圖1所示,首先求出四邊形BMCA面積的表達(dá)式,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值。

3)如答圖2所示,首先求出直線AC與直線x=2的交點(diǎn)F的坐標(biāo),從而確定了Rt△AGF的各個(gè)邊長(zhǎng);然后證明Rt△AGF∽R(shí)t△QEF,利用相似線段比例關(guān)系列出方程,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知一次函數(shù),其中.

(1)若點(diǎn)y1的圖象上.a的值:

(2)當(dāng)時(shí).若函數(shù)有最大值2.y1的函數(shù)表達(dá)式;

(3)對(duì)于一次函數(shù),其中,若對(duì)- -切實(shí)數(shù)x 都成立,求am需滿足的數(shù)量關(guān)系及 a的取值范圍.

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1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上,且AP=AQ時(shí),求證:△BPE≌△CQE;

2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí),求證:△BPE∽△CEQ;并求當(dāng)BP=2,CQ=9時(shí)BC的長(zhǎng).

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【題目】如圖,分別以直角△ABC的斜邊AB,直角邊AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE,F(xiàn)AB的中點(diǎn),DEAB交于點(diǎn)G,EFAC交于點(diǎn)H,∠ACB=90°,∠BAC=30°.給出如下結(jié)論:

①EFAC;四邊形ADFE為菱形;③AD=4AG;④FH=BD

其中正確結(jié)論的為______(請(qǐng)將所有正確的序號(hào)都填上).

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【題目】下列命題中,①等腰三角形兩腰上的高相等;②在空間中,垂直于同一直線的兩直線平行;③兩條直線被第三條直線所截,內(nèi)錯(cuò)角相等;④一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行, 則這兩個(gè)角相等. 其中真命題的個(gè)數(shù)有 __________個(gè).

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(1)若∠ABC=60°,BP=AQ.

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)時(shí),請(qǐng)直接寫出線段DE和線段AQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系;

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí),試判斷①中的結(jié)論是否成立,并說明理由;

(2)若∠ABC=2α≠60°,請(qǐng)直接寫出當(dāng)線段BP和線段AQ滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí),能使(1)中①的結(jié)論仍然成立(用含α的三角函數(shù)表示).

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(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式;

(2)當(dāng)1<x<4,求反比例函數(shù)y=的取值范圍.

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