【題目】(2016浙江省溫州市第24題)如圖,在射線BA,BC,AD,CD圍成的菱形ABCD中,ABC=60°,AB=6,O是射線BD上一點,O與BA,BC都相切,與BO的延長線交于點M.過M作EFBD交線段BA(或射線AD)于點E,交線段BC(或射線CD)于點F.以EF為邊作矩形EFGH,點G,H分別在圍成菱形的另外兩條射線上.

(1)求證:BO=2OM.

(2)設(shè)EF>HE,當矩形EFGH的面積為24時,求O的半徑.

(3)當HE或HG與O相切時,求出所有滿足條件的BO的長.

【答案】(1)、答案見解析;(2)、2或4;(3)、186或9或18或18+6

【解析】

試題分析:(1)、設(shè)O切AB于點P,連接OP,由切線的性質(zhì)可知OPB=90°.先由菱形的性質(zhì)求得OBP的度數(shù),然后依據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)證明即可;(2)、設(shè)GH交BD于點N,連接AC,交BD于點Q.先依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值求得BD的長,設(shè)O的半徑為r,則OB=2r,MB=3r.當點E在AB上時.在RtBEM中,依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可得到EM的長(用含r的式子表示),由圖形的對稱性可得到EF、ND、BM的長(用含r的式子表示,從而得到MN=186r,接下來依據(jù)矩形的面積列方程求解即可;當點E在AD邊上時.BM=3r,則MD=183r,最后由MB=3r=12列方程求解即可;(3)、先根據(jù)題意畫出符合題意的圖形,如圖4所示,點E在AD上時,可求得DM=r,BM=3r,然后依據(jù)BM+MD=18,列方程求解即可;如圖5所示;依據(jù)圖形的對稱性可知得到OB=BD;如圖6所示,可證明D與O重合,從而可求得OB的長;如圖7所示:先求得DM=r,OMB=3r,由BMDM=DB列方程求解即可.

試題解析:(1)、如圖1所示:設(shè)O切AB于點P,連接OP,則OPB=90° 四邊形ABCD為菱形,

∴∠ABD=ABC=30°OB=2OP. OP=OM, BO=2OP=2OM.

(2)、如圖2所示:設(shè)GH交BD于點N,連接AC,交BD于點Q. 四邊形ABCD是菱形,

ACBD. BD=2BQ=2ABcosABQ=AB=18. 設(shè)O的半徑為r,則OB=2r,MB=3r.

EF>HE, 點E,F(xiàn),G,H均在菱形的邊上.

如圖2所示,當點E在AB上時.

在RtBEM中,EM=BMtanEBM=r. 由對稱性得:EF=2EM=2r,ND=BM=3r.

MN=186r. S矩形EFGH=EFMN=2r(186r)=24 解得:r1=1,r2=2.

當r=1時,EF<HE, r=1時,不合題意舍 當r=2時,EF>HE, ∴⊙O的半徑為2. BM=3r=6.

如圖3所示: 當點E在AD邊上時.BM=3r,則MD=183r. 由對稱性可知:NB=MD=6.

MB=3r=186=12. 解得:r=4. 綜上所述,O的半徑為2或4.

(3)、解設(shè)GH交BD于點N,O的半徑為r,則BO=2r.

當點E在邊BA上時,顯然不存在HE或HG與O相切.

如圖4所示,點E在AD上時. HE與O相切, ME=r,DM=r. 3r+r=18.

解得:r=93 OB=186

如圖5所示;由圖形的對稱性得:ON=OM,BN=DM. OB=BD=9.

如圖6所示.HG與O相切時,MN=2r.BN+MN=BM=3r. BN=r. DM=FM=GN=BN=r.

D與O重合. BO=BD=18.

如圖7所示:HE與O相切,EM=r,DM=r.3rr=18. r=9+3

OB=2r=18+6

綜上所述,當HE或GH與O相切時,OB的長為186或9或18或18+6

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(2)點P是線段AB上一點,點D是線段BC上一點,PD//x軸,射線PD與拋物線交于點G,過點P作PEx軸于點E,PFBC于點F,當PF與PE的乘積最大時,在線段AB上找一點H(不與點A,點B重合),使GH+BH的值最小,求點H的坐標和GH+BH的最小值;

(3)如圖2,直線AB上有一點K(3,4),將二次函數(shù)沿直線BC平移,平移的距離是t(t0),平移后拋物線使點A,點C的對應(yīng)點分別為點A,點C;當ACK是直角三角形時,求t的值。

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③ 連結(jié)BE.

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