Question

【題目】已知，如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過直線y=﹣x+3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A，B，此拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使△ACM與△ABC的面積相等？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）在x軸上是否存在點(diǎn)N使△ADN為直角三角形？若存在，確定點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0、3）或2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）；（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，0）或（﹣7，0）．

【解析】試題分析：（1）先求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得b，c的值即可；

（2）設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），由△ACM與△ABC的面積相等可得到|y|=3，將y=3或y=-3代入拋物線的解析式求得對(duì)應(yīng)的x的值，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）先利用配方法求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，當(dāng)∠DNA=90°時(shí)，DN⊥OA，可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，從而得到AN=2，然后再求得AD的長(zhǎng)；當(dāng)∠N′DA=90°時(shí)，依據(jù)sin∠DN′A=sin∠ADN可求得AN′的長(zhǎng)，從而可得到N′的解析式．

試題解析：（1）將x=0代入AB的解析式得：y=3，

∴B（0，3）．

將y=0代入AB的解析式得：﹣x+3=0，解得x=3，

A（3，0）．

將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得： ，

解得：b=2，c=3．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y）．

∵△ACM與△ABC的面積相等，

∴AC|y|=ACOB．

∴|y|=OB=3．

當(dāng)y=3時(shí)，﹣x2+2x+3=3，解得x=0或x=2，

∴M（2，3）、（0、3）．

當(dāng)y=﹣3時(shí)，﹣x2+2x+3=3，解得：x=1+或x=1﹣．

∴M（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．

綜上所述點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0、3）或2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．

（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）．

①當(dāng)∠DNA=90°時(shí)，如圖所示：

∵∠DNA=90°時(shí)，

∴DN⊥OA．

又∵D（1，4）

∴N（1，0）．

∴AN=2．

DN=4，AN=2，

∴AD=2．

②當(dāng)∠N′DA=90°時(shí)，則DN′A=∠NDA．

∴，即，解得：AN′=10．

∵A（3，0），

∴N′（﹣7，0）．

綜上所述點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，0）或（﹣7，0）．